Existenz und Eindeutigkeit der Mathematik
Zur materiellen Begründung der Mathematik
Inhalt
1. Die Null im Stellenwertsystem der natürlichen Zahlen
2. Der Mechanismus der Darstellung der natürlichen Zahlen
3. Die Widerspruchsfreiheit der reellen Zahlen
4. Die formale und die materielle Vollständigkeit der reellen Zahlen
5. Die irrationalen Zahlen als Grenzwertmenge der natürlichen Zahlen
Konklusion: Die Produktion der natürlichen Zahlen und die Kontinuumshypothese
Abstract: Real numbers are represented in a "number-valued" fashion by means of p-adic fractions for each natural number . That is the only representation real number can be calculated with. Practically there is only the decimal system in use. The set of real numbers consists formally of all ordered pairs of natural numbers, if for the second component of such pairs there are also admitted "infinite natural numbers". The fractional component of such representations following its integer part is allowed to have infinite many places. Preceding all - formal - operating rules for numbers, there is a procedure which produces systematically all finite sequences of digits as they underlie the representation of the set of natural numbers And this procedure is also transparent to "infinite natural numbers" This procedure reaches in its limit up to all these numbers simultaneously - what is not typical for limits - without - and that's in return typical for limits - attaining a single one actually. In its limit, the denumerable set of natural numbers splits up into the uncountable set of irrational numbers. Complete order and absolute disorder are closely related to each other in this limit. Mathematics is exclusively indebted to this procedure for its imagination of infinity and therefore for its own existence, provided this procedure is taken up in the special form given to it by the incorporation of a - of the - zero. In addition, this zero then establishes the uniqueness of mathematics resulting out of this procedure.
1. Die Null im Stellenwertsystem der natürlichen Zahlen
I. Unendliches ist nicht einfach nur
Nicht-Endliches. Zu Unendlichem gehört immer auch ein – bzw. gehört der –
Abschluß. Die Tatsache allein, daß immer noch eines nach einem anderen kommt,
könnte Unendliches nicht begründen, wenn nicht von Anfang an auch sicher
gestellt ist, daß alles, was wir uns in einer nicht-endenden Reihenfolge
gesetzt denken, auch von Anfang an bzw. allein dadurch, daß wir uns dieses Verfahren
aufgenommen denken, schon zur Gänze gesetzt ist. Dazu darf das Verfahren aber
keinerlei Zeit- bzw. Raumabhängigkeit aufweisen. Alles, was dem Nacheinander in
der Zeit bzw. dem Nebeneinander des Raumes unterworfen ist – und das ist bei
allen materiellen Dingen so – ist von Natur aus endlich, unabhängig davon, ob
Raum und Zeit selbst unendlich sind oder nicht. Unendliches läßt sich insoweit
auch nur denken unter der Voraussetzung, daß dabei von der Zeit bzw. von dem
Raum, in der bzw. in dem wir uns nichtsdestoweniger die Produktion von
Unendlichem auch nur vollzogen denken können, abstrahiert werden kann.
Wenn es um die Produktion von Zeichenfolgen in
Reihenfolge geht, dann kann man das auch, vorausgesetzt es liegt dieser
Produktion ein geordnetes Verfahren zugrunde. Wenn durch so ein Verfahren
sichergestellt ist, was jeweils als nächstes zu tun ist, ohne daß wir dabei
jemals an ein Ende kommen könnten, dann können wir uns dieses Verfahren einfach
als vollzogen denken, und zwar als abgeschlossen vollzogen denken. Das, was an
sich kein Ende kennt, wird auf diese Weise mit einem solchen Ende ausgestattet.
Die einfachste Form eines solchen Verfahrens besteht sicherlich darin, sich ein
– beliebiges – Zeichen sukzessive zu Zeichenfolgen „kombiniert“ zu denken, die
von Zeichenfolge zu Zeichenfolge dieses eine Zeichen genau einmal mehr
enthalten. Es ist dieses Verfahren auch, daß der Modellvorstellung natürlicher
Zahlen als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen zugrunde liegt, so wie man
es vorzugsweise in Mathematikbüchern findet, soweit diese Bücher sich der
Entwicklung bzw. Beschreibung so eines Modells verpflichtet fühlen. auch ein
solches Modell anbieten. Der Realität dieser Zahlen wird man dadurch allerdings
keineswegs gerecht. Bei diesem Modell wird allein auf den Umfang einer Menge
gesetzt, wobei die Umfangsbestimmung allein dem Kriterium der bijektiven Äquivalenz
folgt. Dieses Kriterium erlaubt uns Mengen hinsichtlich der
„Größer-gleich-Relation“ miteinander zu vergleichen; es gestattet uns nicht
zugleich auch, den Umfang einer Menge
entsprechend der Anzahl der von ihr erfaßten bzw. umfaßten Elemente zu
bestimmen.
Wir können also diesem Modell zufolge von
keiner Menge sagen, wie viele Elemente sie enthält, und d.h. wir können diesem
Modell zufolge die Elemente einer Menge nicht abzählen. Wir können insbesondere
in diesem Modell auch nicht rechnen. Diesem Modell fehlt einfach jede
kommunikative Qualität. Um zu sagen, wie umfangreich eine Menge ist, bliebe uns
nur die Möglichkeit, so viele Striche zu setzen, wie diese Menge Elemente hat,
wobei wir uns dabei nicht auf gewisse Zahlenangaben stützen könnten, die uns
auch genau sagten, wie oft wir dieses eine Zeichen zu setzen haben. Unsere –
kommunikativen – Möglichkeiten blieben so auf die Reproduktion bereits
gegebener Mengen bzw., die willkürliche Setzung von ihrem Umfang nach
unbestimmten Mengen beschränkt, ohne auf diese Weise je auch zu einer exakten,
und d.h. bezifferbaren Bestimmung der Anzahl der Elemente einer Menge finden zu
können.
Diesem
Bedürfnis läßt sich auch nicht dadurch nachkommen, daß die einzelnen Zeichen
gezielt und betont – so wie man das natürlicherweise ohnehin immer auch tun
wird – alle in Reihenfolge gesetzt werden. Damit erscheinen Mengen nur
geordneter; das Potential, das in dem Ordnungsprinzip Reihenfolge steckt, kommt
dabei nicht zur Entfaltung. Dazu bedarf es eines Systems von Zeichenfolgen, das
sich zumindest zweier Zeichen bedient. Dann aber stehen die einzelnen Zeichen
der Zeichenfolgen so eines Systems nicht mehr einfach für sich selbst, und d.h.
dafür, daß sie als – ein – Zeichen auch gesetzt sind; sie halten dann vielmehr
immer auch eine zahlenwert(-halt)ige
Position im Positionengefüge so einer Zeichenfolge besetzt. Es kommt dann nicht
einfach mehr nur darauf an, wie viele Zeichenfolgen in Reihenfolge gesetzt
sind, sondern vor allem auch darauf, welches Zeichen an welcher Stelle gesetzt
ist. Neben ihrem eigenen Zeichenwert kommt dem einzelnen Zeichen einer solchen Zeichenfolge
je nach der Position, die es in so einer Folge einnimmt, darüberhinaus auch ein
bestimmter Stellenwert zu.
II. Unser Zahlensystem ist ein
Stellenwertsystem, und die Entwicklung dieses Systems gehört zweifelsohne zu
den bedeutendsten mathematischen Leistungen bzw. Entdeckungen der Menschheit.
Dieses System dient keineswegs nur der Erstellung von Zahlen; es liegt darin
auch die Realität, Identität und Intelligibilität aller Zahlen begründet.
Zahlen gibt es, weil es dieses System gibt bzw. weil es dieses Verfahren gibt,
das uns systematisch mit allen nur möglichen Zeichenfolgen aus einer
vorgegebenen, in Reihenfolge geordneten endlichen Menge von Zeichen bedient,
wobei allein für eines dieser Zeichen – die Null – gewisse Sonderregeln gelten:
die Null zählt nicht zu den natürlichen Zahlen und sie kann – ausgenommen für
sich allein – von links nach rechts gelesen auch nicht am Anfang einer eine
natürliche Zahl darstellenden Zeichenfolge stehen. Zum Zeichen dafür, daß eine
Stelle nicht besetzt ist, und d.h. nicht mit einem eigenen Anteil zum
„Gesamtwert“ einer Zeichenfolge beiträgt, ist eine – ist die – Null auch
notwendiger Bestandteil so eines Stellenwertsystems.
Käme es nur darauf an ,in geordneter Reihenfolge – ohne jede Einschränkung – alle nur möglichen Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen endlichen Menge von Zeichen zu bilden ,dann könnte man auf eine – auf die – Null auch verzichten. Die Produktion aller dieser Zeichenfolgen braucht im übrigen – so oder so – nicht im Sinne eines Stellenwertsystems interpretiert zu werden. Die kommunikative Qualität einer solchen Produktion ist nicht an so eine Interpretation gebunden. Auch so läßt sich jeder Folge ihr genauer Ort im System aller dieser Folgen entnehmen. Wir wissen das aufgrund des Regelwerks, daß der Konstruktion bzw. Produktion aller dieser Folgen zugrunde liegt. Mit Mathematik – aber auch mit Stellenwertsystem – hat das noch nichts zu tun, auch wenn wir zur Identifizierung der Position einer Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Folgen mehr oder weniger zwangsläufig den einzelnen Zeichen entsprechend der Position, die sie in einer Zeichenfolge einnehmen, mit einem bestimmten Stellenwert ausstatten, einfach weil diese einzelnen Positionen – de facto – immer auch schon mit einem solchen Stellenwert ausgestattet sind.
Es ist diese Ausstattung – wie gesagt- nicht
auch Bestandteil des Regelwerks zur.
Konstruktion bzw. Produktion
dieser Zeichenfolgen. So wie dieses Regelwerk gestrickt ist, führt es
uns nun aber natürlicherweise einmal dazu, das daraus hervorgehende System von
Zeichenfolgen als Stellenwertsystem zu lesen und zu verstehen. Soweit in
Mathematik- Schulbüchern auf dieses Regelwerk eingegangen wird, wird
darauf als eines Stellenwertsystems
eingegangen, und dh, jede Zeichenfolge wird dann einfach als Polynom mit – im
Dezimalsystem – der „Basis“ 10 als „unabhängig-bestimmter“ Variabler gelesen. Auf
das Regelwerk dieser Folgen im engeren Sinne wird dabei nicht eingegangen.
Damit bleibt dann aber auch die ganze Mechanik des Systems verdeckt, eine
Mechanik die vor allem im Unendlichen ihre ganze besondere Dynamik entfaltet.
III. Bleiben wir aber vorerst noch im Endlichen. Es wurde gerade das Dezimalsystem angesprochen. Es ist dieses System bekanntlich auch nur ein System unter – unbegrenzt - vielen anderen gleichwertigen Systemen. Gemeinsam ist allen diesen Systemen auch, daß sie über eine Null in der besonderen Bedeutung, die dieses Zeichen für so ein Stellenwertsystem hat, verfügen. Es ist die Einbindung einer solchen Null – wie gesagt – nicht notwendige Voraussetzung für die Konstruktion eines solchen Systems. Man kommt dabei auch ohne eine Null aus, auch wenn dann das entsprechende System nicht mehr vollkommen symmetrisch ist. Wenn man- bezogen auf das Dezimalsystem- mangels der Null von der 9 etwa sofort zur 11 überzugehen hätte, dann würden – klassisch dezimal gelesen bzw. gezählt – die ersten „100“ Zahlen von 1 bis 99 weniger Zahlen umfassen als alle weiteren 100-Zahlenblöcke. Das liegt einfach daran, daß ohne die Null einstellige Zahlen in dreistelligen Zahlen nicht wiederaufgenommen werden können. Ohne die Null gibt es auch keine 101 beispielsweise, und damit kommt es bei bzw. nach Einführung einer zusätzlichen-variabel- besetzten bzw. zu besetzenden Position auf den bisherigen niederen Positionen nicht einfach nur zur Wiederholung dessen, was es bislang ohne diese zusätzliche Position an Besetzung niederer Positionen bzw. Positionenfolgen schon einmal gegeben hat.
Das Regelwerk für die Produktion dieser Zeichenfolgen ist – mit anderen Worten – ohne eine Null eine etwas andere als mit einer Null. Auf die Gesetze der Arithmetik hat das allerdings nur beschränkt Einfluß. Es kommt bei diesen Gesetzen in einem engeren – materiellen – Sinne letztlich nur darauf an, daß eine – unendliche – Reihenfolge vorliegt, deren Elemente aufgrund ihrer Zusammensetzung die Position, die sie innerhalb der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen einnehmen, sofort auch identifiziert werden können. Auf eine vollkommene Symmetrie in der Verteilung bzw. im Aufbau dieser Elemente entsprechend der Stelligkeit, die den einzelnen Positionen schon noch auch in einem System ohne die Null zukommt, kommt es dabei nicht an.
Ein Verzicht auf die Null würde also keineswegs a priori bereits schon das Ende aller Arithmetik bedeuten. Schließlich enthalten auch die natürlichen Zahlen keine Null, und mit den natürlichen Zahlen läßt sich doch auch ganz gut rechnen, wenn man einmal davon absieht, daß in der Darstellung der natürlichen Zahlen, und mithin auch im Rechnen mit diesen Zahlen - schon immer - von der Null Gebrauch gemacht wurde. Die Null ist in das System der Darstellung der natürlichen Zahlen integriert, ohne selbst auch natürliche Zahl zu sein. Was die Null anbelangt ist insofern zu unterscheiden zwischen ihrer Funktion als – ein – Element von Zahldarstellung auf der einen Seite und deren Verwendung als – reguläre – Zahl. Diese Unterscheidung gibt es so bezüglich aller anderen ebenfalls als Zahlenmaterial Verwendung findenden Zeichen von 1 bis 9 nicht.
So wie die Arithmetik
formuliert und konstruiert ist, ist sie stellenwertsystemunabhängig formuliert
und konstruiert, und insofern scheint der arithmetische Formalismus unabhängig von irgendwelchen
Darstellungs- bzw. Produktionsfragen von - natürlichen - Zahlen entwickelt - zu sein Die einzelnen
arithmetischen Operationen sagen uns nur, wie wir von zwei Punkten einer Reihenfolge aus zu
einem ganz bestimmten anderen Punkt dieser Reihenfolge kommen, ( Nur deswegen auch
konnte - das sei nur nebenbei gesagt - mit dem Rechenschieber gerechnet werden). Ohne die Null könnte im System bzw. im
Regelwerk dieses Verfahrens allerdings schon keine – natürliche – Zahl mehr von
sich selbst subtrahiert werden. Eine solche Subtraktion ist in der Menge der
natürlichen Zahlen nicht definiert. Bekanntlich wird diese Subtraktion mit Null
definiert, und es ist diese Subtraktion auch der ursprüngliche Ort der
konstruktiven Einführung der Null in das Zahlensystem. Theoretisch ließe sich diese
Subtraktion auch anders – was das genannte Beispiel etwa betrifft als – definieren. Den Gesetzen der Arithmetik
würde auch dies einmal mehr keinen Abruch tun. Einmal mehr wäre aber auch damit
wieder die – diesmal punktspiegelbildliche- Symmetrie in der Reihenfolge ganzer
Zahlen gestört.
Zu einer konstruktiven
Notwendigkeit wird die Null allerdings in Verbindung mit den rationalen Zahlen bzw.
– präziser – in Verbindung mit dem Begriff der Nullfolge rationaler Zahlen. Die
klassischste bzw. elementarste aller solchen Folgen ist die Folge .
Zuvor schon ergibt sich die Notwendigkeit der Einführung einer Null bereits aus der Division
ganzer Zahlen, so wie sie im übrigen
auch der Definition rationaler Zahlen
zugrunde liegt. Aufgelöst, und d.h. „ausdividiert“ stellt jede rationale Zahl
einen sogenannten b-al- Bruch dar. Brüche deren Nenner größer als ihr Zähler
ist, können in der Reihenfolge rationaler Zahlen natürlicherweise nur von einem
– positiven - Zahlenwert kleiner als 1 sein. Dementsprechend auch stehen solche
Zahlen in dieser Reihenfolge rationaler Zahlen auch vor der 1, und sie stehen –
sofern der Bruch negatives Vorzeichen trägt – in dieser Reihenfolge nach der .
Feststeht auch, daß die Zahlenfolge resp. eine streng monoton fallende resp. eine streng
monoton wachsende Folge ist. Und aus Symmetriegründen- beide Folgen sind bis
auf das Vorzeichen jeweils identisch- können sich diese beiden Folgen auch nur
in der Mitte zwischen der 1 und der treffen.
Grenzwert der Folge kann nur eine Zahl mit den Eigenschaften der
Null so wie diese in den Körperaxiomen postuliert sind bzw. sich daraus
ableiten lassen, sein. Zu diesen Eigen- schaften gehört insbesondere auch, daß
Multiplikation mit Null immer auch Null zum Ergebnis hat. Es ist dies eine
Eigenschaft, so wie sie auch in die „Polynom-Auflösung“ von (Zahl-)zeichenfolgen
eingeht. Eine Null in so einer Zeichenfolge besagt- wie gesagt - daß die
betreffende Position nichts zum Gesamt(zahlen-)wert dieser Folge beiträgt. Deswegen
kann eine solche Folge auch nicht mit einer Null beginnen, einfach weil das
keinen Sinn ergäbe. Solche Nullen wären vollkommen überflüssig. Deswegen werden
sie auch nicht gesetzt. Innerhalb einer Folge sind solche Nullen dagegen
unentbehrlich, einfach um die Positionen, die effektiv zum Gesamtergebnis
beitragen, auch entsprechend positionieren zu können. Das kann man aber nur,
wenn auch die Möglichkeit besteht, Positionen, die nicht zu diesem
Gesamtergebnis beitragen, entsprechend als leere, nicht besetzte Positionen
auch auszuzeichnen. Gerade dafür (auch) ist die Null da.
2. Der Mechanismus der Darstellung der natürlichen
Zahlen
I. Grundsätzlich ist zu sagen, das das
Verfahren zur Produktion der unendlichen Reihenfolge von endlichen
Zeichenfolgen unabhängig von seiner mathematischen Interpretation als
Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das gilt auch für die Null in
der besonderer Funktion und Bedeutung, die ihr im Vollzug dieser Produktion
zukommt, wenn sie denn bei dieser Produktion auch Verwendung findet. Zur
Produktion einer unendlichen Reihenfolge von endlichen Zeichenfolgen ist eine
solche Null –wie gesagt- nicht erforderlich. Allerdings kann das ganze System
solcher Zeichenfolgen dann auch nur bedingt als ein Stellenwertsystem gelesen
und verstanden werden. Allein mit einer Null läßt sich so ein System auch mit
allen guten Symmetrieeigeschaften ausstatten, die dieses erst auch zu einem
Stellenwertsystem im engeren und eigentlichen Sinne werden lassen. Nur eine
Null läßt uns strikt zwischen den Beiträgen jedes einzelnen Zeichens zum
Gesamtbild bzw. -ergebnis einer ganzen Zeichenfolge unterscheiden. Wir bekommen
so sofort auch eine vollkommene (Polynom-)gliederung einer jeden Zeichenfolge mitgeliefert.
Die Identifizierung einer
Zeichenfolge mit dem ihr zugehörigen – natürlichen – Zahlenwert bereitet uns
erfahrungsgemäß bei nicht allzu großen bzw. nicht allzu kleinen, und d.h. bei
Zeichenfolgen mit nicht allzu vielen Zeichen wenig Probleme. Ohne die
gliedernde Funktion der Null könnte es dagegen zu "Überschneidungen"
der Beiträge der einzelnen Zeichen zum Zahlenwert der betreffenden Zeichenfolge
kommen. Grundsätzlich ist dazu zu sagen, daß das ganze Verfahren seiner ganzen
Anlage nach in jedem Fall gliedernder Natur ist. Ein Verfahren, das der
Produktion von unendlich vielen Zeichenfolgen mit nur endlich vielen Zeichen
dient – und nur so kann es auch zu einer unendlichen Folge solcher
Zeichenfolgen kommen – setzt notwenig auf Blockbildung, und d.h. es setzt
notwendig auf Stellenwert. Ein solches Verfahren kann nur so funktionieren, daß
die vorgegebene bzw. vorzugebende endliche Menge von Zeichen ständig wiederholt
wird.
Die ganze Technik in der Produktion dieser Zeichenfolgen besteht darin, daß in jeder gesetzten Zeichenfolge zugleich auch über die Anzahl der mit dieser Zeichenfolge aktuell – bislang – gesetzten Zeichenfolgen genau Buch geführt wird. Die Technik ist dabei die, daß der aktuelle „Zeichendurchlauf“- von links nach rechts gelesen - auf der letzten Position erfolgt, während über die Anzahl vollständiger Durchläufe auf der Position zuvor Buch geführt wird .Hat auch auf dieser Position zuvor ein vollständiger Zeichendurchlauf stattgefunden, dann wird auf der Position zuvor um ein Zeichen „hochgeschaltet“ – sofern diese Position nicht erst noch mit dem ersten der zur Verfügung stehenden Zeichen (der 1 also) zu eröffnen ist – während die betreffende „Durchgangsposition“ danach durch eine Null „glattgestellt“ wird. Nach einem vollen Zeichendurchlauf auf der letzten Position wird links davon nach dem ersten Zeichen gesucht, das nicht zugleich auch das letzte Zeichen der vorgegebenen Zeichenfolge – die Null ausgenommen – ist, um an dessen Stelle das nächstgrößere Zeichen zu setzen und dafür alle Positionen zuvor mit Null(en) zu überschreiben. Und dann wird von hinten her, und d.h. von rechts nach links gelesen wieder so fortgefahren, als ob nichts gewesen wäre, und d.h. es wird in gewisser Weise wieder ganz von vorne angefangen.
Es wird mit jeder Besetzung
der –von links nach rechts gelesen - ersten Position auf den Positionen danach
alles an Zeichenkombinationen durchgeführt, was es mit den vorgegebenen Zeichen
an Zeichenkombinationen gibt, wobei in diesem Fall die Zeichenkombinationen
auch von einer – oder mehreren- Null(en) angeführt werden können. Das ist das
Prinzip auch, das dem ganzen Verfahren zugrunde liegt: Man hält jeweils eine
Position fest, kombiniert – nach allen Regeln der Kunst sozusagen – auf den
Positionen danach, und geht- wenn alle möglichen Kombinationen ausgeschöpft sind- auf der
festgehaltenen Position um ein Zeichen nach oben ,um das ganze Spiel
wieder von vorne beginnen zu lassen. Und hat man das so oft getan, wie es
verschiedene mögliche Besetzungen auf allen aktuell gegebenen Positionen gibt,
dann wird eben auf eine weitere – zusätzliche, bislang nicht eröffnete – Position
zuvor zurückgegriffen.
II. Der
Anzahl der zur Verfügung stehenden Positionen, und d.h. der Länge der aus
diesem Verfahren hervorgehenden Zeichenfolgen sind so keine Grenzen gesetzt. Man
könnte auch so sagen, daß wir es dabei mit einem Verfahren zu tun haben, in dem
auf einer Folge von Positionen jeweils immer wieder dieselbe Reihenfolge von
Zeichen aufscheint, nur daß das mit – von rechts nach links gelesen –
aufsteigender Position mit (konstant) abnehmender Frequenz geschieht. Ein
voller Zeichendurchlauf auf einer Position führt lediglich zu einem einzigen
Zeichenwechsel auf der Position zuvor. Die Verbindung zwischen den Bewegungen
auf den einzelnen Positionen wird dabei durch den „Glattstellungsmechanismus
per Null“ hergestellt. Das wäre
sozusagen die vertikale Perspektive auf dieses Verfahren. Wie verhält sich das
aber mit der horizontalen Sichtweise?
Aus diesem Verfahren gehen in geordneter Reihenfolge alle – unter Berücksichtigung der besonderen Funktion der Null – möglichen endlichen „Linearkombinationen“ aus der vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlichen Zeichenmenge hervor. Mann könnte – wie gesagt – auf die Null auch verzichten, das Verfahren wäre dann aber auch ohne dieses vollkommen symmetrisch gliedernde Element, so wie dieses ganze System von Zeichenfolgen auch nur von einem solchen Element vollkommen symmetrisch gegliedert werden kann. Und natürlich wird in diesem Verfahren jede neu gebildete Zeichenfolge immer auch ganz von vorne aufgenommen. Es werden – mit anderen Worten – Zeichenfolgen nicht einfach nur ergänzt Jede Ergänzung bzw. Abwandlung geht vielmehr mit der Neuproduktion so einer Folge von Anfang an einher. An Ergänzungen bzw. Modifikationen gibt es – positionsbezogen, ob nun bereits bestehend oder erst noch zu eröffnend – ebenso viele Möglichkeiten als es vorgegebene Zeichen gibt, und jede dieser Möglichkeiten wird im Rahmen dieses Verfahrens auch realisiert.
Operativ wird das ganze Verfahrensgeschehen –
wie gesehen – von hinten her aufgenommen, und d. h. es wird von links nach
rechts gesehen bzw. gelesen vollzogen. Nur so auch lassen sich systematisch
alle möglichen Linearkombinationen aus der vorgegebenen Zeichenmenge erfassen. Man
könnte sich nichtsdestoweniger die ganze Menge der Zeichenfolgen auch so
angeordnet denken, daß diese Fortschreibungen bzw. Modifikationen von rechts
nach links gesehen und gelesen erfolgen. Jede einzelne Folge würde so im System aller dieser Folgen
zu einem Verzweigungspunkt von der Ordnung der Anzahl der Elemente der
vorgegebenen Zeichenmenge. Zu achten wäre dabei nur darauf, daß keine dieser
Folgen mit einer Null beginnen, sehr wohl aber mit einer solchen enden darf.
III. Unabhängig von
solchen Ordnungsfragen ist es so, daß
die Entwicklung bzw. Fortschreibung einer Zeichenfolge in jedem Fall eine
endliche Entwicklung bzw. Fortschreibung ist. Es kommt- genauer- immer nur zu
einer Ergänzung um jeweils ein Zeichen, sofern es überhaupt auch zu einer
Ergänzung kommt. Bevor ergänzt wird,
werden –wie gesagt- auf den bereits bestehenden bzw. besetzten Positionen alle
nur gegebenen Möglichkeiten der Kombination aus den zur Verfügung stehenden
Zeichen durchgespielt. Das Verfahren tritt – was die Größe ,und d.h. Länge der
Zeichenfolge betrifft- nach jeder neu eröffneten Position immer für eine
gewisse Zeit auf der Stelle , und es tritt mit aufsteigender Position zunehmend
auch länger auf der Stelle. Die Fortschreibung des ganzen Systems solcher Folgen findet sich nach jeder neu eröffneten Position unterbrochen, um auch alle
Möglichkeiten der Kombination an Zeichenfolgen, die sich inklusive dieser neuen Position - die im
übrigen auch wieder sukzessive mit allen zur Verfügung stehenden Zeichen besetzt werden kann- anbieten, auch auszuschöpfen. Und diese
Unterbrechungen werden –wie gesagt- auch immer länger. Es gibt im ganzen System
dieser Zeichenfolgen keine zwei aufeinanderfolgenden Zeichenfolgen, die sich der
Länge nach um mehr als ein Element unterscheiden würden.
Darauf gilt es zu achten, wenn
man untersucht, wie sich das ganze Verfahren im Unendlichen gestaltet. Dadurch
ist nämlich – in gewissen Sinne – ausgeschlossen, daß aus diesem Verfahren jemals
eine unendliche Zeichenfolge
hervorgehen könnte. Dem ganzen Verfahren gereicht es - so wie es organisiert
ist- auch im Unendlichen insoweit – aber auch nur insoweit – zur Produktion endlicher
Zeichenfolgen. Das ist um übrigen auch die Voraussetzung dafür, daß dieses
Verfahren Verfahren zur Produktion einer Menge von Zeichenfolgen, die der
Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen dient, sein kann. Unendliche
Zeichenfolgen können mit keiner natürlichen Zahl mehr in Verbindung gebracht
werden, einfach weil sich natürliche Zahlen ausschließlich als endliche Zeichenfolgen
verstehen. Jede natürliche Zahl steht für einen bestimmten, genau
bezifferbaren, und d.h. in diesem Falle auch – materiell – reproduzierbaren –
endliche – Zahlenwert. Eine unendliche Zeichenfolge können wir dagegen in
keinem Fall auch nur vollständig anschreiben, einfach weil solche Folgen kein
Ende haben. Und in gewissem Sinne wird in diesem Verfahren die Produktion
unendlicher Zeichenfolgen verfahrensbedingt abgeblockt. Nichtsdestoweniger
bringt uns dieses Verfahren jede
unendlichen Zeichenfolge beliebig nahe, und in diesem Sinne dient dieses
Verfahren auch der Produktion unendlicher Zeichenfolgen, und d.h. es dient - insoweit - schon auch der Produktion - der Menge - irrationaler Zahlen.
Die natürlichen Zahlen- und mit ihnen alles, was sich daraus an weiteren Zahlen ableitet, und d.h. die reellen Zahlen insgesamt – gibt es auch nur, weil es dieses Verfahren gibt. Wo und wann immer auf Zahlen konkret zurückgegriffen wird, wird darauf in einer Form und Gestalt zurückgegriffen, die ihnen durch dieses Verfahren ermöglicht ist. Dazu gibt es einfach auch keine Alternative. Wenn in der Mathematik mit Modellen natürlicher Zahle gehandelt wird, die von diesem Verfahren glauben abstrahieren zu können, so ist das ein vollkommen realitäts-praxisfremder Ansatz.
Man kann in der Darstellung
und im Umgang mit natürlichen Zahlen nicht mit einem einzigen Zeichen
auszukommen versuchen. Versuchen könnte man es vielleicht. Mit den „Zahlen „die
dabei hervorgehen, könnte man aber weder rechnen, noch ließen sich in diesem
System die einzelnen Zahlen ihrem Zahlenwert nach identifizieren. Sie haben in
diesem System keinen solchen Zahlenwert. Gänzlich unbrauchbar wird diese
Methode in der Darstellung rationaler Zahlen als b-al-Brüche, und es ist nun
einmal diese Darstellung allein, die uns unmittelbar – Zahlen auch einen – auch
ihren – ihren Zahlenwert zuordnen läßt. Das ist die einzige zahlenwertige
Darstellung, die wir für Zahlen haben. Jeder mengentheoretische Ansatz versagt
dann notwendig, ganz zu schweigen von der Entwicklung von Algorithmen, die uns
mit solchen Zahlen dann auch rechnen ließen.
3. Die
Widerspruchsfreiheit der reellen Zahlen
I. Die reellen Zahlen und mit ihnen die Mathematik sind insgesamt ein Produkt dieses Verfahrens zur Produktion aller möglichen Kombinationen von Zeichenfolgen aus den Zeichen einer –vorzugebenden endlichen Zeichenmenge. Die Erweiterung von Zahlbereichen ist in der historischen Entwicklung immer aus praktischen Notwendigkeiten heraus geboren worden, wobei in dieser historischen Entwicklung die Einführung positiver rationaler Zahlen noch vor der Einführung negativer ganzer Zahlen gelegen hat. Die rationalen Zahlen korrespondieren der Operation „ Teilen“, und diese Operation gehört- nicht weniger als das Abzählen- zu den aus der alltäglichen menschlichen Praxis nicht wegzudenkenden Tätigkeiten.
Formal bestehen rationale Zahlen aus „Brüchen ganzer Zahlen. Und gedacht sind diese Zahlen dazu, die in der Menge der natürlichen Zahlen nur beschränkt ausführbare Division auch unbeschränkt ausführen zu können. Es wäre dies allerdings auch nur eine Scheinlösung, wenn diese formalen Brüche, im Einzelfall nicht auch aufgelöst werden könnten, und d.h. wenn die Division nicht immer auch durchgeführt werden könnte Mit Brüchen läßt sich einfach auch kein präziser Zahlenwert verbinden. Auf der Ebene bloßer Bruchdarstellung lassen sich Brüche auch wieder nur – formal – bezüglich ihres „Größer-oder-kleiner-Seins-als“ miteinander vergleichen.Man bildet dazu einfach nur die Differenz zweier solcher Brüche , und stellt fest, ob das Ergebnis positiv ist, und d. h. als für natürliches p, q, schreiben läßt oder nicht. Trifft ersteres zu, dann ist größer als , in Zeichen: . So stellen wir uns das auch vor. Das kann dann auch nicht anders sein.
Wenn man wissen will, wie groß ein Bruch nun ganz genau ist, dann kann man das nur, wenn man diesen Bruch auch auflöst, und d.h. wenn man Zähler durch Nenner dividiert und so in einen anderen Bruch, einen b-al-Bruch nämlich, überführt. Dann läßt sich auch sofort nicht nur feststellen, ob ein Bruch größer oder kleiner als ein anderer Bruch ist; man kann sofort auch sagen, wie groß – unabhängig von irgendwelchen Vergleichen mit anderen Brüchen – so ein Bruch ist
Ihre – mathematische – Identität als Zahl
beziehen rationale Zahlen insofern nur aus ihrer b-al-Bruchdarstellung. Nur in
dieser Form sind rationale Zahlen im übrigen auch maschinell verwert- bzw.
darstellbar. Die Existenz rationaler Zahlen wäre gegenüber den natürlichen
Zahlen auch eine mindere Form von Existenz wenn rationale Zahlen nur operativ
angedeutet, nicht aber auch operationsfrei dargestellt werden könnten.
Schließlich steht das Bruchzeichen bzw. der waagrechte Strich / in auch für das – ganz gewöhnliche bzw. reguläre
– Divisionszeichen. Eine andere Interpretation gibt es dafür nicht, und
interpretiert werden wollen diese Zeichen schließlich auch.
II. Es
verhält sich diesbezüglich mit diesem Bruchstrich nicht anders als mit dem
Minuszeichen bei negativen Zahlen. Man kann nicht sagen, das wäre einfach nur ein
Symbol. Daß man für den Umgang mit so einem Symbol gewisse Regeln festlegt, das
reicht nicht hin, um so ein Symbol auch zu einem sinnvollen Symbol werden zu
lassen. Die Einführung solcher Symbole hat nur Sinn, wenn damit bei konkreter
Zahldarstellung auch konkret gerechnet werden kann. Solche Symbole können auch
nur für bestimmte Rechenoperationen bzw. – mathematisch korrekt ausgedrückt –
Verknüpfungen stehen, und Verknüpfungen können nicht einfach – nach Belieben –
konstruiert werden.
Wenn in der Mathematik – effektiv – nur mit
zwei elementaren, originären Verknüpfungen gearbeitet wird – Addition und
Multiplikation nämlich – so liegt das
einfach daran, daß im Körper der rationalen Zahlen, und d. h. in der
Zahlenmenge, in der alle Grundrechnungsarten – erstmalig – auch unbeschränkt
ausführbar sind, nur diese beiden Verknüpfungen
von einer eigenen mathematischen Identität sind. Was die natürlichen Zahlen
anbelangt, liegt nur die Addition als eigenständige Verknüpfung vor, nachdem
sich dort – auch – die Multiplikation auf die Addition zurückführen läßt. Zu
einer von der Addition unabhängigen Verknüpfung wird die Multiplikation erst
innerhalb der Menge der rationalen Zahlen. Subtraktion und Division gehen h
dagegen in jedem Fall in Addition bzw. Multiplikation als den dazu jeweils
inversen Operationen auf.
III. Die
Einführung negativer bzw. inverser Zahlen läßt Subtraktion bzw. Division als
eigenständige Operationen überflüssig werden. Subtraktion einer Zahl bzw.
Division durch eine Zahl entspricht dann einfach der Addition der betreffenden
negativen Zahl bzw. der Multiplikation mit der entsprechenden inversen Zahl.
Nichtsdestoweniger darf das Minuszeichen vor einer negativen Zahl bzw. das in
einer inversen Zahl verdeckt mit enthaltene Divisionszeichen nicht einfach mit
dem Minuszeichen für die Subtraktion bzw. dem Divisionspunk ":" für
die Division gleichgesetzt werden, auch wenn es praktisch, und d.h. de facto
damit gleichzusetzen ist. Wir brauchen uns dazu vor eine negative Zahl nur eine
Null gesetzt zu denken und haben damit sofort den Term, der diese negative Zahl
zum Ergebnis hat. Das Inverse einer Zahl a läßt sich – analog – durch anstelle von schreiben. Allerdings wird ein Bruch wie auch (formal) weniger operativ als
Rechenausdruck sondern vielmehr
(stationär) als Zahl – als rationale Zahl eben – verstanden.
Das aber wiederum setzt voraus, daß so ein
Rechenausdruck tatsächlich auch aufgelöst werden kann, und d.h. daß die darin
beschriebene Division auch ausführbar ist. Die Unterscheidung zwischen Zahlen
und den Verknüpfungen, die mit diesen Zahlen ausführbar sind, ist für die ganze
Mathematik – natürlich – konstitutiv. Und insofern ist die – effektive –
Ausführbarkeit der Division ganzer Zahlen eine notwendige Voraussetzung für die
Existenz rationaler Zahlen. Es muß also einen Algorithmus geben, der uns sagt,
wie zwei Zeichenfolgen, so wie wir sie – alternativlos – zur Darstellung natürlicher
Zahlen verwenden, dividiert werden können, genauso wie wir einen solchen
Algorithmus für die Addition und Multiplikation solcher Zeichenfolgen haben.
Haben wir diesen Algorithmus erst einmal gefunden, brauchen wir uns über eine
weitere Interpretation bzw. Begründung der dadurch ermöglichten bzw.
definierten mathematischen Operation „Division“ keine Gedanken zu machen. Der
konkrete Vollzug am konkreten Objekt spricht uns von allen weitergehenden
Überlegungen und Erklärungen darüber, was so eine Operation „ist“, frei. Und
dann erübrigen sich auch irgendwelche Beweise für die Existenz bzw.
Eindeutigkeit aber auch Widerspruchsfreiheit einer solchen Operation.
Bei formal-abstrakter Beschäftigung mit
mathematischen Dingen sind diese Beweise immer auch zu führen. Was bei
konkreter materieller Existenz – und materielle Existenz ist immer konkrete
Existenz – vorliegt, das kann in sich nicht widersprüchlich sein. So wie es
vorliegt, liegt es widerspruchsfrei vor, und es liegt überdies so auch
einzigartig vor. Wenn die ganze Mathematik unabhängig von irgendwelchen
Widerspruchs- bzw. Widersprüchlichkeitsfragen entwickelt wird, so liegt das
einfach nur daran, daß sich die ganze Mathematik als Mathematik der reellen
Zahlen versteht bzw. aus diesen reellen Zahlen in dem Sinne ableitet, als die
die Mathematik bzw. Analysis einleitende Begründung dieser reellen Zahlen die materielle Basis
der – ganzen – Mathematik darstellt. Materiell findet diese Basis die ganze
Entwicklung der Mathematik über jedenfalls keine weitere Ergänzung. Und das hat
offenbar – wie gesagt – damit zu tun, daß auch das System der Darstellung bzw.
Produktion reeller Zahlen keine weitere Ergänzung mehr zuläßt. Dieses System
findet mit den irrationalen Zahlen ihren Abschluß und resp. damit auch ihre
Vollständigkeit.
4. Die
formale und die materielle
Vollständigkeit der reellen Zahlen
I. In der Mathematik wird das mit der
Vollständigkeit der reellen Zahlen bekanntlich anders interpretiert. Allerdings
ist das keine Interpretation, die sich unabhängig von der regulären – und im übrigen
auch einzig möglichen, zahlenwertigen – Darstellung reeller Zahlen gestalten
würde bzw. gestalten könnte. Gäbe es im System der Darstellung bzw. Produktion
reeller Zahlen über die irrationalen Zahlen hinaus noch Platz für weitere
Zahlen bzw. (Zahl-)Zeichenfolgen, dann wären auch diese Zahlen bzw.
Zeichenfolgen noch den reellen Zahlen zuzurechnen. Tatsache ist, daß alles, was
in diesem – einen – System von
Zahldarstellung in dessen möglichen, zahlenwerthaltigen Erweiterungen über die
rationalen Zahlen hinaus an Zahldarstellung möglich ist, von den irrationalen
Zahlen abgedeckt ist. Irrationale Zahlen verstehen sich in diesem System als
nicht-periodische unendliche b-al-Brüche. Das ist über die Darstellung rationaler
Zahlen als endlicher oder periodisch unendlicher Brüche alles, was uns dieses
System noch anbieten kann. Die Division natürlicher Zahlen schöpft das
Potential dieses einen Systems von Darstellung noch nicht aus. Sie führt –
definitionsgemäß – über die "Auflösung" rationaler Zahlen in
b-al-Brüche – Dezimalbrüche beispielsweise und insbesondere – nicht hinaus.
Die Division natürlicher Zahlen „geht“ dem –
allgemeinen – Divisionsalgorithmus natürlicher Zahlen zufolge zwar nicht immer
auch „auf“; es kommt in diesen Fällen
dann allerdings (wenn nicht von Anfang
an, dann jedenfalls nach endlich vielen Stellen) – nur – zur Wiederholung von immer ein und
derselben endlichen Zeichenfolge. Im System solcher Bruchdarstellungen
entsprechen rationale Zahlen genau der (Teil-)Menge endlicher bzw.
periodisch-unendlicher Brüche. Übrig bleiben dann allein noch nicht-periodisch
unendliche Brüche, und diese Brüche werden als irrationale Zahlen bezeichnet.
Voraussetzung dafür ist, daß solchen Brüchen ein Zahlenwert zugeordnet werden
kann, auch wenn es uns nicht möglich sein sollte – und es ist uns das tatsächlich
auch nicht möglich – solchen Brüchen auch einen konkreten Zahlenwert
zuzuordnen. Notwendige – aber auch zureichende – Voraussetzung dafür ist
wiederum, daß solche Brüche als Folgen betrachtet – wenn sie sich denn auch als
Folgen betrachten lassen, was in Frage steht, wie dieser Aufsatz zeigt – konvergieren.
Zahlenwert einer solchen "Folge" bzw. der dadurch repräsentierten
Zahl ist dann deren Grenzwert, ein Grenzwert, der – materiell – notwendig in
nichts anderem als der unendlichen Zeichenfolge selbst besteht. Das gilt in
gleicher Weise für rationale Zahlen mit periodisch-unendlicher
b-al-Bruchdarstellung. Wir haben auch für solche Zahlen keinen endlichen
Zahlenwert, und d.h. es gibt keine operationsfreie Darstellung einer solchen
Zahl als Zahl mit nur endlich vielen Zeichen.
Die formale Darstellung rationaler Zahlen
als Bruch natürlicher Zahlen p, q gilt – wie gesagt –
als Zahldarstellung nur deswegen, weil es auch möglich ist, diesen Bruch
aufzulösen, und d.h. die in dieser formalen Darstellung – implizite –
vorgesehene bzw. enthaltene Division effektiv auch auszuführen. Daß man dabei
nicht zu Ende kommt, das stört zumindest in den Fällen nicht, wo man weiß bzw.
wo sich zeigt, wie das mit dieser Division – endlos – immer weiter geht. So
steht die rationale Zahl in unserer Vorstellung – aber auch in der
mathematischen Realität – schon auch für eine ganz präzise bestimmte Zahl, auch
wenn wir uns in der Darstellung von deren Zahlenwert in b-al-Bruchdarstellung
immer nur mit einem Näherungswert bescheiden müssen.
B-al-Brüche
sind nach mathematischer Leseart bzw. Definition nichts anderes als unendliche
Reihen und können als solche auf ihre Konvergenz hin untersucht werden, und
diese Untersuchung fällt bei periodisch-unendlichen Brüchen besonders einfach
aus. Periodisch-unendliche Brüche nehmen die besondere Form einer unendlichen
geometrischen Reihe an, und diese Reihe konvergiert, wenn dessen „Argument“ dem
Betrage nach kleiner als 1 ist, so wie wir das bei periodisch-unendlichen
Brüchen auch haben. Zum Nachweis der Existenz solcher Brüche benötigen wir also
nicht das Vollständigkeitsaxiom. Der Grenzwert, und d.h. Zahlenwert
periodisch-unendlicher b-al-Brüche läßt sich insofern – was wir bei Grenzwerten
im allgemeinen nicht haben – in diesem Fall „direkt“ ausrechnen. Die Konvergenz
nicht-periodisch-unendlicher Brüche läßt sich dagegen nur mit Hilfe des
Vollständigkeitsaxioms nachweisen, wobei auch in diesem Fall die Abschätzung
der Differenzbeträge von Partialsummen wieder mit Hilfe der geometrischen Reihe
erfolgt. Auf diese Weise läßt sich die Folge der Partialsummen, und d.h. läßt
sich der ganze Bruch als eine Cauchy-Folge nachweisen, und Cauchy-Folgen
konvergieren – per Axiom – in .
II. Das ist der Inhalt des
Vollständigkeitsaxioms in einer seiner – gleichwertigen – Versionen bzw.
Varianten. Der Grenzwert, und d.h. der Zahlenwert nicht-periodisch-unendlicher
Brüche bleibt uns allerdings verschlossen. Irrationale Zahlen erschließen sich
uns insofern nur in operativer Darstellung als unendlicher Reihe etwa und
insbesondere, wobei man einer solchen Reihe wie etwa der Eulerschen Zahl ihre Irrationalität nicht ansieht. Der
Nachweis dieser Irrationalität ist im Einzelnen immer auch zu führen, und
dieser Nachweis gestaltet sich im allgemeinen auch nicht gerade einfach.
Grundsätzlich ist es so, daß solche Beweise nur indirekt zu führen sind. Man
geht davon aus, die betreffende Zahl wäre rational, und führt diese Annahme zu
einem Widerspruch.
Natürlich kann man
eine – mögliche – rationale Darstellung p/q einer solchen – letztendlich –
irrationalen Zahlen nicht für jedes mögliche Paar p, q ganzer Zahlen im
einzelnen ausschließen wollen. Bei unendlich vielen solcher Paare würde man
dabei nie an ein Ende, und d.h. nie zu einem – definitiven – Ergebnis kommen.
Zumeist ist es die – ohne Einschränkung der Allgemeinheit angenommene –
teilerfremde Darstellung p/q einer rationalen Zahl, die bei solchen Beweisen ad
absurdum gewissermaßen geführt wird. Das klassische Beispiel dafür ist der
Beweis der Irrationalität von Ö2. Es ist dies dasjenige Beispiel auch, daß
in der Entwicklung der Mathematik der Motivierung des Vollständigkeitsaxioms
dient. Allgemein ist zu sagen, daß die systematische Entwicklung der
Mathematik, so wie sie in den Analysis-Lehrbüchern vorgetragen wird eine
operative Entwicklung in dem Sinne ist, daß dabei nicht auf Zahlen, und ihre
Darstellung sondern auf das, was sich mit Zahlen machen bzw. nicht machen läßt,
gesehen wird. Der axiomatischen Begründung der reellen Zahlen selbst ist jede
Unterscheidung zwischen den verschiedenen Zahlbereichen wie natürlichen, ganzen,
rationalen und irrationalen Zahlen – zunächst jedenfalls – fremd.
Alsbald stellt sich dann
allerdings die Notwendigkeit einer (gesonderten) Definition bzw. Begründung der
natürlichen Zahlen sowie (gegebenenfalls) auch deren Einbettung – will heißen
Identifizierung mit einer Teilmenge der reellen Zahlen – in diese reellen Zahlen heraus. Wir benötigen
diese Zahlen, um den Folgenbegriff einführen zu können, und ohne diesen
Folgenbegriff wäre die ganze Mathematik so nicht möglich. Dieser Begriff ist
für die Mathematik insgesamt ebenso fundamental wie zentral. Die
Grenzwertdefinition und in deren Gefolge der ganze Infinitesimalkalkül resp.
die ganze Analysis wäre ohne diesen Folgenbegriff obsolet.
III. Also, die natürlichen Zahlen müssen innerhalb der reellen Zahlen schon eigens ausgezeichnet bzw. ausgewiesen werden. Das aber können sie in authentischer Weise nur in der Form und Gestalt, die ihnen in dem Verfahren zu ihrer Darstellung im Einzelnen auch zukommt. Was die mathematische Realität und Identität dieser Zahlen anbelangt, kann von diesem Verfahren nicht abstrahiert werden. Jedes anders Modell wird dieser Realität bzw. Identität nicht gerecht. Man kann mit den „Zahlen aus diesen Modellen nicht rechnen, und man kann diese „Zahlen" in diesen Modellen - ihrem Zahlenwert nach, der jeder Zahl wesenhaft zukommt – nicht einmal identifizieren. Man kann dieses authentische Verfahren zur Konstruktion bzw. Produktion der natürlichen Zahlen auch nicht formalisieren, was man unter formalisieren eben so versteht, die Reduktion von Gegebenem auf dessen bloße Form , und d.h. die Abstraktion in diesem Gegebenem von allem wesenhaft Materiellen.
Was dieses Verfahren zur Konstruktion bzw. Produktion der natürlichen Zahlen anbelangt, so besteht dieses wesenhaft Materielle in der Auswahl der zur Verwendung kommenden Zeichen, bzw. in dem Regelwerk, nach dem dann daraus alle nur möglichen endlichen Zeichenfolgen geformt werden. Wir können uns diese Zeichen vorgeben wie wir wollen, und wir können sie auch in jeder beliebigen Reihenfolge setzen. Wir müssen uns nur auf so eine Reihenfolge auch verständigen. Alles Weitere ist dann Aufgabe des besagten Regelwerks, so wie es an anderer Stelle schon ausführlich beschrieben wurde. Eine Formalisierung des Verfahrens zur Darstellung resp. Produktion der natürlichen Zahlen könnte sich allenfalls auf dieses Regelwerk beziehen. Auswahl und Anordnung (in Reihenfolge) der Elemente, die dabei Verwendung finden, entziehen sich notwendig einer Formalisierung. Damit läßt sich einfach kein Abstraktionsgeschehen verbinden, so wie wir es bei Formalisierungen immer auch haben (müssen). Diese Elemente kann man nur explizit-materiell und nie einfach nur abstrakt-ideal namhaft machen, so wie wir sie uns aussuchen, und in der Reihenfolge, in die wir sie bringen.
Das überträgt sich dann entsprechend aber auch auf das Regelwerk, das den Umgang mit diesen Elementen bestimmt. Es kann dann auch nur mit dem konkret ausgewählten Material in konkret festgesetzter Reihenfolge, nicht stellvertretend dafür aber mit allgemeinen Symbolen in allgemeiner Reihenfolge (was heißt das schon?) gearbeitet werden. Es geht dann nicht einfacher, und es geht auch nicht allgemeiner.
5. Die irrationalen Zahlen als Grenzwertmenge der
natürlichen Zahlen
I. Wir haben es bei dem Verfahren zur
Darstellung der natürlichen Zahlen nicht mit dem Vollzug eines Gesetzes zu tun,
das eine Vielzahl von Einzelfällen abdecken würde, so wie es sich
beispielsweise und insbesondere mit Verknüpfungen und den dafür geltenden bzw.
geltend gemachten Axiomen verhält. Verknüpfungen spielen auf einer ganzen Menge
von Elementen, und sie tun das immer auch in gleicher Weise, was bestimmte
grundlegende Verhaltenweisen – sprich Eigenschaften – anbelangt. Gesetze sind
notwendig allgemeiner Natur. Konkretisierungen von Gesetzen sind immer
Spezifizierungen in Form und Gestalt verschiedenster Einschränkungen. Man kann
die Bedingungen, die den „Gesetzesfall“ beschreiben bzw. festlegen, immer
weiter präzisieren, und damit das Gesetz immer mehr auch perfektionieren. Man
wird aber selbst auf diese Weise nie zu einem Gesetz bloß für den Einzelfall
finden, einfach weil es so ein Gesetz nicht gibt. Mit konkreten Symbolen für
konkrete Objekte lassen sich keine Gesetze formulieren. Auch unsere Sprache ist
in diesem Sinne eine Sprache von - ausschließlich - Allgemeinbegriffen. In
seiner ganzen Konkretizität verschließt sich der Einzelfall jeder sprachlichen
Beschreibung. Der Einzelfall ist in dieser Konkretizität ein Grenzwert
sprachlicher Beschreibung, und d.h. ein
Wert, an den sich Sprache zwar
belieblig nahe herantasten kann,
den sie in seiner ganzen konkreten und
spezifischen Realität und Identität aber niemals erreicht.
Das einfachste Beispiel für ein mathematisches Gesetz ist das Kommutativgesetz für die Addition etwa, auch wenn dieses Gesetz für gewöhnlich als Axiom, und d.h. als –unmittelbar einsichtige – Festsetzung gehandhabt wird. Es gibt bekanntlich aber auch diese Ansätze, in denen dieses Gesetz auch wirklich Gesetz, und d.h. beweisbare Behauptung ist. Jedenfalls haben wir es bei diesem Gesetz um ein Gesetz zu tun, dessen „Formalität“ außer Frage steht. Der Sachverhalt so wie er diesem Gesetz zugrunde liegt, läßt sich nicht anders formalisieren als er in diesem Gesetz formalisiert ist, und er ist in diesem Gesetz offenbar auch optimal formalisiert
Natürlich muß bei solchen
Formalisierungen immer auch auf die Mengen verwiesen werden, denen die
allgemeinen Symbole des Gesetzestextes „entnommen“ sind. Bei einer –
allgemeinen Verknüpfung wie der Addition kommen dafür aber auch nur
Zahlenmengen in Frage, auch wenn es sich dabei nicht gleich um die ganze Menge
der reellen Zahlen handeln muß. Allerdings kommen ansonsten auch nur allgemeine,
natürliche Teilmengen dieser reellen Zahlen wie die Menge der natürlichen, ganzen
oder rationalen Zahlen in Frage.
II. Es wäre sinnlos sich dabei auf andere Mengen zu verständigen,
einfach weil das mit unnötig viel
Aufwand verbunden wäre, ohne daß das mathematisch auch etwas bringen würde .Es wäre dabei insbesondere
auch dafür Sorge zu tragen, daß die
Addition auf dieser konstruierten Menge auch definiert und d.h. unbeschränkt
ausführbar ist. Bei ausgesuchten Mengen erfordert dieser Nachweis der
Abgeschlossenheit womöglich eine umfassende Einzelfallprüfung. Bei den klassischen
Zahlenmengen besteht diesbezüglich dagegen hinreichend Klarheit. Die ganzen
Zahlbereichserweiterungen, so wie sie sukzessive zu den reellen Zahlen führen, erfolgen bekanntlich zu dem
Zwecke, sich nach und nach von allen
Einschränkungen in der Ausführung elementarer Verknüpfungen – will heißen
Grundrechnungsarten – so wie sie auf untergeordneten Zahlbereichen noch
bestehen, zu befreien.Diese Erweiterungen werden formal vorgenommen, und d.h.
es kommt dabei nicht etwa zur Auflistung aller Zahlen des –dann- nunmehr
erweiterten Zahlbereiches. So bestehen die ganzen Zahlen aus allen natürlichen
Zahlen n ergänzt um alle Negativen -n dieser Zahlen. Die rationalen Zahlen wiederum
umfassen alle Brüche ganzer Zahlen p, q, .
Nur für die irrationalen
Zahlen gibt es nicht auch eine entsprechende Formalisierung, Es gibt einfach
keine - mathematische - Operation, die uns von den rationalen Zahlen zu den
irrationalen Zahlen übergehen ließe. Irrationale Zahlen lassen sich nur –
negativ - über ihre spezifische Darstellung als b-al-Brüche charakterisieren.
Sie umfassen im „System“ dieser Brüche genau alle nicht-periodisch nicht-endlichen
Zeichenfolgen. Damit wird in diesem System von diesen irrationalen Zahlen genau
auch noch die Lücke geschlossen, die von den rationalen Zahlen darin noch
hinterlassen ist. Keine irrationale Zahl läßt sich vollständig als b-al-Bruch
darstellen, auch wenn wir wissen, wie so eine Darstellung auszusehen hätte. Die
Bedingung, denen eine Darstellung irrationaler Zahlen diesbezüglich zu genügen
hat, ist – wie gesagt – allerdings nur negativ formuliert , und d.h. indirekt
bestimmt. Die entsprechenden Bruchdarstellungen dürfen nicht in irgendwelche
Periodizitäten „ausarten.“
Anhand
eines vorliegenden Bruches läßt sich das allerdings nicht feststellen, einfach
weil Brüche dieser Art nicht vollständig vorliegen können. Dadurch, daß wir
eine sowohl notwendige als auch zureichende Bedingung an die Form und Gestalt
solcher Brüche stellen, sind diese Brüche nicht schon auch in ihrer Existenz
nachgewiesen. Unendliche Folgen wollen schließlich immer auch effektiv
produziert sein, und produziert werden können solche Folgen-wie wir wissen-
nicht in der Zeit und nicht im Raum. Die
Produktion solcher Folgen muß vielmehr einem Verfahren vorbehalten bleiben, das
diese Folgen nicht erst zu produzieren hat, einfach weil sie diese per
Verfahrensvorschrift(en) immer schon produziert hat. Das ist die einzige
(Verfahrens-)möglichkeit, aus der Unendliches hervorgehen kann. Wo ist also das
Verfahren, das uns eine unendliche nicht- periodische Zeichenfolge beschert?
Man kann eine solche Zeichenfolge jedenfalls nicht – willkürlich- Zeichen für Zeichen festlegen, einfach weil sich so etwas nur in –Abhängigkeit von Zeit und Raum tun ließe, Raum und Zeit aber – wie gesagt – ein ungeeignetes Medium für die Produktion von Unendlichem sind. Es gibt offenbar aber auch nicht die Folgenvorschrift, die uns sukzessive mit den unendlich vielen Bruchstellen einer solchen irrationalen Zahl bedienen könnte. Das wäre allein deswegen schon nicht möglich, weil uns dafür nicht genügend natürliche Zahlen zur Verfügung stünden.
III. Die Menge der natürlichen Zahlen besteht aus allen endlichen „Linearkombinationen“ aus einer vorgegebenen endlichen Menge von Zeichen. Der Anzahl der Zeichen sind dabei keine Grenzen gesetzt, und nur deswegen ist die Menge der natürlichen Zahlen eine unendliche Menge, auch wenn jede natürliche Zahl immer nur endlich viele Zeichen umfaßt. Dadurch, daß man eine Zeichenfolge immer wieder – nur – um ein Zeichen ergänzt, kann – prozessual, und d. h. aus der Perspektive einer Ergänzung Zeichen für Zeichen betrachtet – so eine Zeichenfolge auch nie zu einer unendlichen Zeichenfolge ,und d.h. einer Zeichenfolge mit nicht-endlich vielen Zeichen, werden. Allenfalls als Endprodukt kann man sich aus so einem Verfahren eine unendliche Zeichenfolge hervorgehend denken. Es muß nur auch sichergestellt sein, daß in diesem Verfahren auch für eine ständige Ergänzung gesorgt ist. Es darf dieses Verfahren auch kein zeitbezogenes und auch kein raumabhängiges Verfahren sein.
Also, wenn vorgegeben ist, wie sich das mit der sukzessiven und fortlaufenden Ergänzung um immer weitere Zeichen gestaltet, dann können wir das Ergebnis eines solchen Verfahrens –abschließend als unendliche Zeichenfolge ansehen. Wir können uns dann die endlos vielen Zeichen so eines Verfahrens alle auf einmal gesetzt denken und finden so – final, und d. h. aus der Perspektive dessen betrachtet, was das Verfahren insgesamt zu leisten vermag – zwangsläufig zu einer unendlichen Zeichenfolge. Ein Verfahren, bei dem es nicht darauf ankommt, daß effektiv-materiell auch etwas bewegt wird, läßt sich einfach nur in Gedanken vollzogen denken, und wenn es sich dabei um ein Verfahren handelt, zu dessen Vollzug unendlich viele bzw.– zurückhaltender formuliert – nicht endlich viele Schritte gehören, dann läßt sich so ein Verfahren – abschließend – auch nur in Gedanken vollzogen denken. Das, was wir im zeitlich-räumlichen Nacheinander bzw. Nebeneinander nie tun könnten, unendlich vieles Verschiedenes aneinanderreihen nämlich, in unserer Vorstellung haben wir damit nicht die geringsten Probleme.
Wir können uns unendlich
viele Zeichen problemlos auf einmal gesetzt denken, ohne auf ein geordnetes
Setzen in Reihenfolge aller dieser Zeichen verzichten zu müssen. Wir können
sozusagen per Dekret bestimmen, daß das ganze Verfahren in Gang gesetzt sein
möge, und sofort auch ist dieses Verfahren nicht nur in Gang gesetzt, sondern
auch zu (s)einem – unendlichen Abschluß gebracht. Allerdings ist das Verfahren
zur Darstellung der natürlichen Zahlen nicht nur in der Darstellung dieser
Zahlen ergiebig. Es gibt eine Unendlichkeit nach der Unendlichkeit der natürlichen
Zahlen resp. endlichen Zeichenfolgen, die Unendlichkeit der irrationalen
Zahlen, resp. die Unendlichkeit der – Menge der – unendlichen Zeichenfolgen
nämlich. Diese Unendlichkeit übersteigt die Unendlichkeit der Menge der
natürlichen Zahlen sowohl in Bezug auf die einzelne unendliche Zeichenfolge als
auch in Bezug auf die Menge aller solcher Zeichenfolgen. Jede solche
Zeichenfolge enthält mehr Zeichen als es natürliche Zahlen gibt, und auch die
Menge aller solcher Folgen umfaßt mehr Elemente als die Menge der natürlichen
Zahlen über Elemente verfügt. Ersteres folgt einfach daraus, daß jede
Bruchstelle eines unendlichen Bruches entsprechend der Position, die sie im
ganzen Bruchstellengefüge einnimmt, auch für eine ganz bestimmte natürliche
Zahl steht. Das gilt – prozessual, und d. h. in der Abfolge der Bruchstellen –
für jede einzelne Bruchstelle, nicht aber auch – final, und d. h. im Ergebnis
so einer Bruchentwicklung – für das Bruchstellengefüge als Ganzes. Mit einer
unendlichen Zeichenfolge läßt sich einfach keine natürliche Zahl mehr
verbinden. Letzteres der Feststellung von vorhin folgt einfach daraus, daß die
Menge der natürlichen Zahlen eine nicht-abzählbare Menge ist. Das wiederum ist
eine Folge dieses Verfahrens, das über endliche Zeichenfolgen hinaus nur
grenzwertweise auch an unendliche Zeichenfolgen heranführt.
Konklusion: Die Produktion der
natürlichen Zahlen und die Kontinuumshypothese
Die Existenz irrationaler Zahlen ist davon abhängig, daß es auch ein Verfahren gibt, von dem wir wissen, daß es nicht-periodisch unendliche Zeichenfolgen zum Ergebnis hat. Als Folge kann so ein Verfahren nicht definiert sein, weil den natürlichen Zahlen der Abschluß fehlt, der uns das Bildprodukt dementsprechend – abschließend – auch als unendliche Zeichenfolge verstehen lassen könnte. Die natürlichen Zahlen schließen auch im Unendlichen nicht mit einer unendlichen natürlichen Zahl resp. Zeichenfolge ab. Dieses Verfahren zur Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen bedient uns mit allen möglichen Kombinationen verschiedenster – endlicher – Anzahl von Zeichen aus einer vorgegebenen, in Reihe geordneten endlichen Menge von Zeichen. Der Länge solcher Zeichenfolgen sind in diesem Verfahren also – verfahrensgemäß – keine Grenzen gesetzt. Gleichwohl verhindert die in diesem Verfahren integrierte Blockade, daß es dabei auch nur zu einer einzigen unendlichen Zeichenfolge reichen könnte. Das Verfahren kommt allen diesen Zeichenfolgen beliebig nahe, es erreicht sie nur nicht auch – abschließend. Wir haben hier somit eine typische Grenzwertsituation vorliegen.
Das ganze Verfahren ist ein kombiniertes Verfahren in dem Sinne, daß im Laufe dieses Verfahrens keine Zeichenfolge pro Verfahrensschritt jemals um mehr als ein Zeichen ergänzt werden könnte. Zumeist ist es ohnehin nur so, daß eine Zeichenfolge an einer – der letzten nämlich – Stelle verändert wird, ohne daß sich an der Länge der ganzen Zeichenfolge etwas ändern würde.
Das Verfahren tritt – mit anderen Worten – was die Längen solcher Zeichenfolgen anbelangt, nach jeder Ergänzung immer auf der Stelle, und es tritt mit zunehmender Länge – wie gesehen –immer auch etwas länger auf der Stelle. Unabhängig davon aber gilt die Aufmerksamkeit des Verfahrens einer Folge immer nur kurzfristig. Das ist aber auch Voraussetzung dafür, daß aus diesem Verfahren auch alle nur möglichen Kombinationen von beliebiger endlicher Anzahl von Zeichen aus der vorgegebenen Zeichenmenge hervorgehen können. Es gehört diese wechselnde Aufmerksamkeit jedenfalls auch zu den konstitutiven Elementen dieses Verfahrens, und d.h. zu denjenigen Elementen, die auch im Unendlichen – will heißen zum Ende des Verfahren – nicht angetastet werden. Die geordnete Verfahrensweise bleibt auch im Unendlichen, und d.h. im Grenzübergang zu der nicht-abzählbar unendlichen Menge unendlicher Zeichenfolgen gewahrt.
Grenzübergangsverfahren sind analytisch nicht rekonstruierbar, und d.h. es ist uns nicht möglich, so ein Verfahren in einzelne Teile, und d.h. Etappen zu zerlegen. Das Gleiche gilt dann notwendig auch für die aus diesem Verfahren – in diesem Fall – hervorgehende (ganze) Grenzwertmenge, und d.h. es läßt sich daraus keine – echte – nicht-abzählbare Teilmenge bestimmen, will heißen keine Teilmenge, die die Abzählbarkeit der natürlichen Zahlen bereits hinter sich gelassen, aber die „volle“ Nicht-Abzählbarkeit der irrationalen Zahlen noch nicht erreicht hätte. Bekanntlich ist das genau auch die Behauptung der Kontinuumshypothese.