Konklusion

 

 

 I. - Ist eine Konstruktion der reellen Zahlen möglich? Die Antwort auf diese Frage, die man der vorliegenden Arbeit auch hätte voranstellen können, fällt am Ende unserer Überlegungen eindeutig aus: Es gibt diese Konstruktion der reellen Zahlen nicht, so wie es eine Konstruktion der ganzen bzw. rationalen Zahlen gibt. Der Existenz dieser Zahlen liegt – aufbauend auf der (Darstellung der) Menge der natürlichen Zahlen – eine eindeutige Konstruktionsvorschrift zugrunde. Das, was in der Mathematik an „Konstruktion“ der reellen Zahlen angeboten wird, setzt entweder implizite voraus, was damit eigentlich konstruiert sein soll, oder führt einfach nicht zu dem, wozu es führen soll. Letzteres hat sich gerade an der „Konstruktion“ reeller Zahlen per rationaler Cauchy-Folgen gezeigt. Man kann aus der Menge aller dieser Folgen einen Restklassenkörper bilden und darin auch eine lineare Ordnung einführen. Es läßt sich nur nicht auch die Vollständigkeit dieses Körpers zeigen, und d.h. es läßt sich nicht zeigen, daß in diesem Körper alle Cauchy-Folgen konvergieren. Man kann dieses Problem mit den nicht-konvergenten Cauchy-Folgen in  nicht dadurch gelöst haben wollen, daß man alle solche Folgen – konvergente wie nicht-konvergente – zu einer Menge zusammenfaßt. Man kann die dynamische Angelegenheit der Konvergenz von Folgen nicht statisch durch diese Folgen selbst klären lassen wollen. Dadurch, daß man alle rationalen Cauchy-Folgen zu einer Menge zusammenfaßt, stellt sich die Frage, wie auch die divergenten Folgen in dieser Menge in einer Erweiterungsmenge zu konvergenten Folgen werden können, nicht mehr. Sie stellt sich deswegen nicht mehr, weil es in dieser Menge keine rationalen Cauchy-Folgen gibt. Die Cauchy-Folgen in dieser Menge sehen anders aus.

Die Cauchy-Folgen dieser Mengen bestehen in allen ihren Folgengliedern selbst aus Cauchy-Folgen. Folgen in dieser – wie in jeder anderen – Menge auch  konvergieren, wenn sie ein Element dieser Menge zum Grenzwert haben. Möglicher Grenzwert solcher Folgen sind dann auch diejenigen Elemente, die als rationale Cauchy-Folgen in  nicht konvergieren, und d.h. für die es in  nicht auch einen Grenzwert gibt. Die Eigenschaft, Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Cauchy-Folgen zu sein, ließe die Nicht-Konvergenz dieses Grenzwertes in  natürlich unberührt. Das ist auch nicht Sinn und Zweck der Konstruktion. Es würde genügen, wenn alle Cauchy-Folgen in dieser Menge konvergieren, denn dann wäre diese Menge bzw. der daraus gebildete Restklassenkörper vollständig, nachdem in diesem Körper auch das Archimedische Axiom gilt, wie sich vergleichsweise einfach nachweisen läßt.[114]

Damit wäre mit dieser Konstruktion ein Modell der Menge der reellen Zahlen gewonnen. Es wäre von diesem Modell alles an Axiomen erfüllt, was an Axiomen im Axiomensystem der Menge der reellen Zahlen enthalten ist. In diesem Modell würde jede reelle Zahl dann auch durch eine rationale Cauchy-Folge dargestellt. Als Folge treten diese Folgen in unserer Konstruktion nur nicht auch in Erscheinung. Die Elemente einer Menge können nicht zugleich auch Folge einer Menge sein. Deswegen auch stellt sich die Frage der Konvergenz rationaler Cauchy-Folgen in dieser Menge nicht. Ebensowenig wie die Elemente einer Menge  für Folgen dieser Menge gehalten werden können, können die Folgen einer Menge nicht auch gegen Folgen, sondern nur gegen Elemente dieser Menge konvergieren. Eine Cauchy-Folge läßt sich nur in der Weise als konvergente Folge nachweisen, daß man den Grenzwert dieser Folge ausfindig macht.

Die Eigenschaft, Cauchy-Folge zu sein, reicht allein nicht aus, um eine Folge mit dieser Eigenschaft auch eine konvergente Folge sein zu lassen. Dadurch, daß die Glieder einer Cauchy-Folge immer näher zusammenrücken, läßt sich nicht auch ableiten, daß es eine Zahl gibt, der sich diese Folgenglieder immer mehr annähern. In angeordneten – auch in archimedisch angeordneten – Körpern konvergiert nicht notwendig auch jede Cauchy-Folge. Weder die Körperaxiome noch die Anordnungsaxiome lassen uns die Konvergenz von Cauchy-Folgen beweisen, wie das Beispiel des Körpers der rationalen Zahlen zeigt. Ein solcher Körper läßt sich natürlich auch nicht einfach per Axiom zu einem vollständigen Körper machen. Dazu müßte so ein Körper zuvor schon um ein entsprechendes Zahlenmaterial erweitert werden, in dem uns dann auch mit einem Grenzwert für die einzelne Cauchy-Folge in dieser Erweiterungsmenge gedient ist. Es gibt für so eine Erweiterung nur nicht auch – das haben unsere Überlegungen gezeigt – ein konstruktives Verfahren, das uns dann auch auf ein Axiom zum „Nachweis“ der Konvergenz jeder Cauchy-Folge in dieser Erweiterungsmenge verzichten lassen könnte.

Daß der Körper  der rationalen Zahlen kein vollständiger Körper ist, das folgt allein schon aus dem einen „klassischen“ Gegenbeispiel der Approximation von . Die Approximationsfolge von  durch einen sukzessive Bruchstelle für Bruchstelle fortentwickelten Bruch ist eine im archimedisch angeordneten Körper der rationalen Zahlen nicht-konvergente Cauchy-Folge. Die rationale Cauchy-Folge, die  approximiert bzw. zum Grenzwert hat, nimmt die besondere Form und Gestalt eines unendlichen, nicht-periodischen b-al-Bruches an. Das folgt notwendig daraus, daß  nicht rational ist. Nachweisen läßt sich so etwas nur indirekt, und d.h. es läßt sich nur per Gegenbeispiel nachweisen, auch wenn das Gegenbeispiel in diesem Fall – notwendig – ein ganz allgemeines ist.

Es wird dabei einfach die Annahme, es könnte diese  als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, zu einem Widerspruch geführt. Die b-al-Bruchentwicklung dieser „Zahl“ kann deswegen weder abbrechen, noch darf sie periodisch werden. Andernfalls könnte so ein Bruch auch als Quotient zweier ganzer Zahlen und d.h. als rationale Zahl geschrieben werden. Aufgrund der Gewichtung, die b-al-Brüche in ihrer Bruchkomponente erfahren, lassen sich alle solchen Brüche unschwer als rationale Cauchy-Folgen nachweisen. Nur bei periodisch-unendlichen Brüchen ist es uns aber auch möglich, mit einem Grenzwert für diese Brüche zu dienen. Dieser Grenzwert ist bestimmt durch die rationale Zahl, in die sich so ein Bruch umformen läßt. Diese Umformung erfolgt mit Hilfe der geometrischen Reihe.[115] Der Grenzwert geometrischer Reihen ist durch eine allgemeine Formel bestimmt, die uns diesen Grenzwert bequem berechnen läßt. Bekanntlich ist der Grenzwert von Reihen als Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen bestimmt, und von den Partialsummen geometrischer Reihen läßt sich dieser Grenzwert wie gesagt mehr oder weniger auch sofort angeben. Das haben wir so aber auch nur bei der geometrischen Reihe.

 

II. - Das ist die Situation bei periodisch-unendlichen-b-al-Brüchen. Von unendlichen nicht-periodischen Brüchen wissen wir – was deren Grenzwertverhalten betrifft – dagegen nur, daß es sich dabei um Cauchy-Folgen handelt. Aus der Perspektive solcher Brüche bzw. Cauchy-Folgen läßt sich diese Grenzwertfrage allerdings nicht auch entscheiden. Daß solche Brüche in  nicht konvergieren, das wissen wir auch nur, weil wir wissen, daß jede rationale Zahl von einer endlichen oder periodisch-unendlichen Bruchentwicklung ist, und weil umgekehrt jede endliche bzw. periodisch-unendliche Bruchentwicklung auch als rationale Zahl geschrieben werden kann. Im System bzw. Körper der rationalen Zahlen und ihrer Bruchentwicklungen ist für unendliche nicht-periodische Brüche kein Platz. Unendliche nicht-periodische Brüche sind als rationale Cauchy-Folgen in  notwendig divergent. Wenn die Menge der rationalen Zahlen ihre – vollständige – Darstellung in der Menge aller endlichen bzw. periodisch-unendlichen Brüche findet, dann kann durch einen unendlichen nicht-periodischen Bruch auch keine rationale Zahl dargestellt sein. Wir verfügen in der Menge der rationalen Zahlen einfach über kein Zahlenmaterial, das uns einen solchen – möglichen – Grenzwert darstellen ließe.

Auch das gehört zur Konvergenz von Folgen dazu, und auch daran kann die Konvergenz von Folgen scheitern. Wenn in der Menge der natürlichen Zahlen nicht unbeschränkt subtrahiert werden kann, so ist dem deswegen so, weil im System der Darstellung dieser Menge für beliebige Differenzen kein „operationsfreies“ Zahlenmaterial zur Verfügung steht. Wenn die Subtraktion – definitionsgemäß – die inverse Operation zur Addition ist, dann kann eine natürliche Zahl, die in der Reihenfolge der natürlichen Zahlen nach einer anderen natürlichen Zahl kommt, nicht von dieser anderen natürlichen Zahl subtrahiert werden. Eine solche Subtraktion würde dann über den Nullpunkt der natürlichen Zahlenreihe hinaus- bzw. zurückführen, wobei dieser Nullpunkt bereits eine erste Ergänzung der Reihenfolge der natürlichen Zahlen darstellt, nur um in der Menge dieser natürlichen Zahlen jede natürliche Zahl auch von sich selbst subtrahieren zu können. Ohne diese Null wäre bereits diese Subtraktion schon nicht mehr möglich sie wäre in der Menge der natürlichen Zahlen nicht definiert, wenn an der allgemeinen Definition von Subtraktion als inverser Operation zur Addition festgehalten werden soll. Man kann dann die Reihenfolge der natürlichen Zahlen in ihrer geometrischen Darstellung als in gleichen Abständen verteilte Punkte auf einer Halbgeraden nicht einfach punktsymmetrisch zur natürlichen Eins zu einer „vollständigen“ Geraden verlängern, wobei zur Unterscheidung der jeweils symmetrischen Punkte auf beiden Halbgeraden die Punkte auf der linksseitigen Verlängerung ein negatives Vorzeichen tragen. Die ganze Gerade muß vielmehr punktsymmetrisch zur links neben der Eins – in diesem einen gleichen Abstand – positionierten Null eingerichtet werden.

Dieser Nullpunkt ist im übrigen nicht nur der geometrischen Veranschaulichung der Menge der natürlichen Zahlen wegen von Bedeutung. Sie ist auch von einer konstitutiven Bedeutung für die zeichenhafte Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen selbst. Ihre natürliche Darstellung findet die Menge der natürlichen Zahlen als eine systematisch geordnete bzw. produzierte Reihenfolge von endlichen Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen, in Reihenfolge geordneten Menge von endlich vielen Zeichen. Diese endliche Menge von Zeichen kann man sich ganz beliebig vorgeben. Man muß sich nur auch auf eine Reihenfolge dieser Zeichen verständigen. Diese Reihenfolge bestimmt – in der Darstellung – dann zugleich auch den Anfang der Reihenfolge der natürlichen Zahlen. Die Auswahl der Zeichen, deren wir uns zur Darstellung der natürlichen Zahlen bedienen, hat mit diesen Zahlen zunächst nichts zu tun. Auch die Reihenfolge, in der diese Zeichen zu setzen sind, ist eine Reihenfolge, die diesen Zeichen auch nur von außen vorgegeben bzw. aufgegeben ist. Alles, was wir uns von diesen Zeichen sagen lassen wollen, können diese uns nur sagen, wenn wir ihnen zuvor sagen, was sie uns sagen sollen. Wir können Zeichen auswählen und so wie wir diese Zeichen auswählen, können wir sie uns zugleich auch in eine Reihenfolge gesetzt denken.

Diese Reihenfolge ist dann aber nicht von den Zeichen selbst getragen. Verschiedene Zeichen lassen sich auf verschiedene Weise – genauer: auf n! verschiedene Weise, wenn n die Anzahl der gewählten Zeichen ist – in eine Reihenfolge bringen. Einfache Zeichen bringen in ihrer geometrisch-graphischen Gestalt – und anderes haben Zeichen als bloße Zeichen auch  nicht anzubieten – keinerlei eigene Präferenzen hinsichtlich der Reihenfolge, in der sie am besten – weil in natürlicher Weise – zu setzen wären, mit. Alle diese n! verschiedenen Reihenfolgen sind vollkommen „gleichwertige“ Reihenfolgen. Keine dieser Reihenfolgen ist vor einer anderen Reihenfolge in irgendeiner Weise ausgezeichnet. Es gibt lediglich ein Verfahren, das uns alle diese Reihenfolgen systematisch entwickeln läßt. Es ist dies dasjenige Verfahren, mit dem auch bewiesen werden kann, daß die Anzahl der möglichen Anordnungen (in Reihenfolge) einer n-elementigen Menge gleich n! ist. Handelt es sich bei so einer Menge um die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n so spricht man – in eigener Terminologie – nicht von den Reihenfolgen bzw. Anordnungen sondern von den Permutationen[116] dieser Menge.

Wir gehen (zum Beweis dieser Behauptung) in diesem Fall von der – in natürlicher Weise ausgezeichneten, weil konventionsgemäß so vorgegebenen  – Reihenfolge dieser natürlichen Zahlen aus. In der materiellen Darstellung ist diese Reihenfolge in einem Umfang, der der vorgegebenen Menge an Zeichen entspricht, gleichwohl eine ganz willkürliche. Identifiziert werden können diese einzelnen Zeichen mit einer ganz bestimmten natürlichen Zahl nur in einem System von Darstellung, daß diese vorgegebenen Zeichen systematisch in Reihenfolge zu endlichen Zeichenfolgen der verschiedensten Länge bzw. Zusammensetzung – wobei wiederholtes Setzen ein und desselben Zeichens innerhalb ein und derselben Zeichenfolge gestattet ist – kombiniert. Die natürlichen Zahlen gibt es nur in ihrer ganzen Unendlichkeit, oder es gibt sie nicht. Es ist dann die Reihenfolge, in der die vorgegebenen Zeichen in einer endlichen Zeichenfolge gesetzt sind, von der wir uns sagen lassen können, an welcher Position genau diese Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen steht. Es ist Reihenbildung offenbar auch das einzige Instrument, über das uns eine Zeichenmenge anderes zu sagen vermag als sich uns nur als bloße Zeichenmenge in Form und Gestalt der einzelnen Zeichen  zur Darstellung zu bringen.

Das Ganze muß nur auch System haben. Im Verfahren zur Darstellung bzw. Produktion der Reihenfolge der natürlichen Zahlen haben wir dieses System. Es ist dies ein einzigartiges System. Von einer – simultanen – Darstellung wie auch Produktion kann dabei insofern die Rede sein, als sich uns unendliche Mengen, so wie insbesondere auch die Menge der natürlichen Zahlen nur im System einer  bestimmten Darstellung erschließen und so eine Darstellung in einer intelligiblen Art und Weise, und d.h. in einer Art und Weise, in der wir uns von der Darstellung als solcher sagen lassen können, was damit dargestellt sein soll, nur in Form und Gestalt systematisch aus endlich vielen Zeichen in Reihenfolge produzierter endlicher Zeichenfolgen erfolgen kann. In ihrer ungeschmälerten Realität bzw. Intelligibilität erschließen sich uns natürliche Zahlen nur so.

Es gibt auch nur dieses eine System, so wie es uns  von den natürlichen Zahlen her bekannt ist, daß aus endlich vielen  Zeichen in intelligibler, will heißen in sich selbst mitteilender  Weise, auch was die Identität der einzelnen Elemente anbelangt, eine unendliche Menge zur Darstellung bringt. In diesem System „werden“ die Zeichen, die wir dem ganzen Verfahren in Reihenfolge vorzugeben haben, dann auch zu natürlichen Zahlen. Mit diesen Zeichen wird in der Reihenfolge dieser Zeichen mit der Darstellung- bzw. Produktion natürlicher Zahlen angefangen. Die Darstellungs- bzw. Produktionstechnik ist dabei die, daß diese vorgegebene Zeichenmenge – in Reihenfolge – immer wieder aufs neue gesetzt wird, nicht ohne aber auch darüber Buch zu führen, wie oft diese Zeichenmenge im laufenden Verfahren schon gesetzt ist. Diese Buchführung erfolgt durch ein der laufenden Wiederholung der vorgegebenen Zeichenmenge konstant zur Seite gestelltes Zeichen. Ist so eine Wiederholung abgeschlossen, wird dies in der Darstellung dadurch vermerkt, daß man das die ganze Wiederholung über konstant gehaltene und parallel geführte Zeichen um das in der Reihenfolge der vorgegebenen Zeichen nächste Zeichen ersetzt und dafür die Position, die man zuvor durch die ganze Zeichenmenge der Reihe nach hat besetzen lassen, durch die in der Menge der natürlichen Zahlen in gewisser Weise außer Konkurrenz laufende Null „glatt stellt“. Ohne eine solche Null müßte im Dezimalsystem beispielsweise nach der 9 sofort zur 11 bzw. nach der 99 zur 111 übergegangen werden. Damit könnte aber auch nicht weiter das System der Gewichtung der einzelnen Positionen in den einzelnen Zeichenfolgen, so wie es in der Identifizierung einer solchen Zeichenfolge mit einer bestimmten natürlichen Zahl fester Bestandteil eines jeden Systems von Polynom-Darstellung dieser Zahlen ist, nicht weiter aufrechterhalten werden.

Es ist dieses System der Gewichtung, das auch miteinschließt, daß einzelne Positionen in einer Zeichenfolge nicht besetzt sein können bzw. auch nicht besetzt sein dürfen, wenn die Möglichkeiten der Darstellung, die uns ein gewichtetes System von Zeichenfolgen bieten kann, auch ausgeschöpft werden können sollen. Daß eine Position in einer solchen Zeichenfolge nicht besetzt ist, das kann man nur durch ein Zeichen zum Ausdruck bringen, das selbst nicht positiv besetzt ist, und d.h. man kann dies nur durch die „Null“ zum Ausdruck bringen. Es wird durch diese Null dann einfach angezeigt, daß sich die entsprechende Position nicht auch als Vielfaches der ihr zukommenden Gewichtung in die durch eine solche Zeichenfolge dargestellte Zahl einbringt. Der Beitrag, mit dem sich eine jede Position in eine solche Darstellung einbringen kann, kann auch nicht nur durch das, womit sich andere Positionen einbringen, kompensiert werden. Polynomdarstellung ist insoweit immer eindeutige Darstellung.[117] Auf die Funktion der Null im System der Darstellung bzw. Produktion natürlicher Zahlen kann also nicht verzichtet werden. Ein solcher Verzicht hätte im übrigen auch anderweitig weitreichende Auswirkungen. Die Menge der reellen Zahlen könnte nicht weiter mehr das sein, was sie ist, ist doch die Existenz der Null bzw. die mit Hilfe der Null formulierte bzw. geforderte Existenz des Negativen fester Bestandteil des Axiomensystems dieser Zahlenmenge.

 

III. - Einmal mehr zeigen diese Überlegungen, wie die Begründung von Zahlbereichen von Darstellungsfragen abhängig ist. Die Begründung von Zahlbereichen ist eine Begründung von Zahldarstellung. Natürliche Zahlen gibt es, weil es dieses Verfahren zur sysematischen Produktion aller nur möglichen endlichen Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlichen Menge von – einfachen – Zeichen gibt. Nur in Form und Gestalt einer solchen Darstellung, kann mit natürlichen Zahlen in intelligibler, weil kommunikativer Weise auch operiert werden. Auch ein Anzahlbegriff, der Anzahl nicht einfach nur gegenständlich zur Darstellung bringt, ohne diese Anzahl ihrem Zahlenwert nach auch beziffern zu können, ist nur in diesem System der Darstellung natürlicher Zahlen möglich. Man könnte versucht sein, kann die Menge der natürlichen Zahlen auch durch reine „Ein-Zeichen-Folgen“ in einem weiteren Sinne zur Darstellung zu bringen. Philosophie und Mathematik glauben das auch tun zu können bzw. tun zu dürfen. Wir können in diesem System nur nicht auch sagen,  welches die durch eine solche Folge dargestellte natürliche Zahl sein soll. Die Frage ist auch, ob diese Zeichenfolgen alle auch zureichen, die natürlichen Zahlen in ihrer ganzen Unendlichkeit zur Darstellung zu bringen.

Wir haben in diesem System dafür einfach keine Sprache. Eine solche Sprache kann uns nur in einem System vermittelt sein, in dem es auch wirklich auf die Reihenfolge ankommt, in der die einzelnen Zeichen gesetzt sind. Im System der Darstellung vermittels bloßer Ein-Zeichen-Folgen kommt es nicht auf diese Reihenfolge, und kann es auf diese Reihenfolge natürlicherweise auch nicht ankommen. Was zählt ist allein die Anzahl bzw. Menge der gesetzten Zeichen. Die Anordnung in Reihenfolge ist für diese Zeichenfolgen in dem, was sie darzustellen haben, nicht konstitutiv. Also erfolgt die Anordnung in Reihenfolge in diesem System nur aus optisch-praktischen, nicht aber auch aus inhaltlich-sprachlichen Gründen. Das zeichnet einfach Sprache aus, daß in ihr Reihenfolge nicht nur instrumentalisiert sondern auch funktionalisiert ist.

Das ist bei jeder natürlichen Sprache so, und das ist bei der Sprache, der sich die Mathematik zur Darstellung von Zahlen bedient nicht anders. Kommunikativ, und d.h. auch intelligibel ist Sprache in dem einen wie in dem anderen Fall nur, weil sie sich des Phänomens bzw. der Realität Reihenfolge in funktionaler Weise bedient. Eine funktionsfähige Semantik läßt sich nur auf diese Weise einrichten. Was die (Zahlen-)sprache der Mathematik betrifft, ist damit zugleich auch die Syntax dieser Sprache bestimmt. Was alles an Verknüpfungen mit Zahlen möglich ist, das ist durch die Sprache bestimmt, in der Zahlen ihre Darstellung finden. Ausgeführt werden können Verknüpfungen nur mit konkreten Zahlen in konkreter Zahldarstellung. Abstrakt-formal läßt sich eine allgemein auf einer Zahlenmenge definierte mathematische Verknüpfung nur in dem beschreiben, was diese Verknüpfung auszeichnet unabhängig davon, mit welchen Zahlen wir diese Verknüpfung auch vollziehen. Dazu zählt beispielsweise die Assoziativität bzw. Kommunitativität von Addition und Multiplikation natürlicher bzw. – allgemeiner – reeller Zahlen. Nur solche allgemeinen Eigenschaften von Verknüpfungen können auch Inhalt von Axiomen sein. Man kann die allgemeinen Eigenschaften mathematischer Verknüpfungen auch nicht anders als formal-abstrakt beschreiben. Konkrete Zahlen in konkreter Zahldarstellung können nur für sich, nicht aber auch für eine ganze Zahlenmenge sprechen.

Verknüpfungen können – wie gesagt – in einer Menge nur in dem Umfang definiert sein, in dem dafür auch das entsprechende Zahlenmaterial gegeben ist. Das System der Darstellung einer Menge bestimmt, was in dieser Menge alles an Operationen möglich bzw. nur beschränkt möglich ist. Ist eine Operation in einer Menge nur beschränkt ausführbar, so kann man versuchen, diese Menge zu einer Menge zu erweitern, in der diese Operation unbeschränkt ausführbar ist. Dabei ist darauf zu achten, daß sowohl die Ursprungsmenge in natürlicher Weise Teilmenge der Erweiterungsmenge ist, als auch darauf, daß die Operation, die nunmehr in der Erweiterungsmenge unbeschränkt ausführbar ist, auch die Operation, soweit sie bereits in der Ursprungsmenge ausführbar war, fortsetzt, und d.h., daß die auf der ganzen Erweiterungsmenge definierte Operation auf der Ursprungsmenge mit der dort von Anfang an gegebenen Operation identisch ist.

Diese Vorgaben setzen einer aus operativen Gründen erfolgenden Erweiterung von Zahlenmengen doch recht enge Grenzen. Solche Erweiterungen können sich grundsätzlich nur innerhalb des von der Ursprungsmenge realisierten Systems von Darstellung bewegen. Eine Zahlenmenge, die die Menge der natürlichen Zahlen als Teilmenge enthalten soll, kann – mit anderen Worten – ihre Darstellung auch nur in einem modifizierten System der Darstellung natürlicher Zahlen finden. Wie diese Modifizierung aussieht, das sagt uns der allgemeine Divisionsalgorithmus natürlicher bzw. ganzer Zahlen. Wenn man sich darauf verständigt, die Division natürlicher Zahlen dort, wo sie in der Menge natürlicher Zahlen nicht „aufgeht“ diesem Divisionsalgorithmus entsprechend einfach fortzuführen, wobei die Stelle, ab der die Division nicht mehr aufgeht, durch ein Komma vermerkt ist, dann kommt man dabei zu einem Ergebnis, das allen Anforderungen an eine Division genügt.

Die Division zweier natürlicher Zahlen bricht dabei entweder an einer bestimmten Stelle ab, oder es kommt zu einer unendlich-periodischen Entwicklung. Dieser Divisionsalgorithmus sieht auch nur auf die Zeichenfolge, die jede einzelne natürliche Zahl mit sich bringt, nicht aber auch auf die Gewichtung, in der diese Zeichenfolgen in der Identifizierung mit einer bestimmten Zahl immer auch zu lesen sind. Will man umgekehrt allerdings auch zeigen, daß jede solche „Komma-Darstellung“ einem Quotienten natürlicher Zahlen entspricht, muß auch das Positionensystem nach dem Komma gewichtet werden. Systemkonform kann diese Gewichtung nur so aussehen, daß man nach dem Komma mit negativen statt mit positiven Exponenten so wie vor dem Komma, gewichtet. Nur dann läßt sich eine solche Zeichenfolge auch wieder in einen Quotienten natürlicher bzw. ganzer Zahlen zurückverwandeln.

Nur dann nämlich kann mit Hilfe der geometrischen Reihe gezeigt werden, daß periodisch-unendliche Brüche konvergieren, und zwar konvergieren gegen einen Quotienten ganzer Zahlen. Es ist dieses System der Gewichtung, das uns einen periodisch-unendlichen b-al-Bruch als geometrische Reihe lesen läßt, deren Grenzwert dann auch einfach bestimmt werden kann. Die Periode des Bruches kann dabei „ausgeklammert“ werden. Das muß auch so sein, wenn so eine Zeichenfolge als geometrische Reihe behandelt werden können soll. Es muß dann einfach nur über die Gewichtungen der einzelnen Positionen summiert werden können, und das ist nicht möglich, wenn die Zeichenfolge nicht eine periodische ist.

Dem System der Gewichtung so einer Zeichenfolge bzw. der dadurch gebildeten Reihe läßt sich dann nur entnehmen, daß diese Reihe in der Folge ihrer Partialsummen eine Cauchy-Folge ist bzw. daß diese Folge eine monoton wachsende, beschränkte Folge ist. Über die mögliche Konvergenz so einer Folge ist dadurch nichts ausgesagt. Wenn man allerdings weiß, daß nicht-periodisch unendliche Brüche keine rationale Zahl zum Grenzwert haben können, dann weiß man natürlich auch, daß solche Brüche in  nicht konvergieren können. Es gibt in  dafür kein Zahlenmaterial. Ein nicht-periodisch unendlicher Bruch ist aber auch etwas – ganz – anderes als ein endlicher oder periodisch-unendlicher Bruch, und wenn die Menge der rationalen Zahlen ihre vollständige Darstellung in Brüchen letzterer Art findet, dann können nicht-periodisch unendliche Brüche in  auch nicht konvergieren. Es kann dann auch keinen endlichen bzw. periodisch-unendlichen Bruch geben, der seinem Zahlenwert nach einem nicht-periodisch unendlichen Bruch gleich wäre.

 

IV. - Einmal mehr steht dem die Eindeutigkeit der Polynom-Darstellung von Zahlen – ob nun natürlich, ganz, rational oder irrational – entgegen. Als Zeichenfolge sind zwei Folgen verschieden, wenn sie nicht genau dieselben Zeichen in genau derselben Reihenfolge enthalten. Daran ändert sich auch durch die systematische Gewichtung der einzelnen Positionen so einer Reihenfolge nichts, so wie sie – konstitutiver – Bestandteil jeder durch eine solche Zeichenfolge dargestellten Zahl ist. Aus Identitätsgründen wäre das mit dieser Gewichtung nicht erforderlich. Jede Zeichenfolge kann vermittels der Reihenfolge, in der in ihr die einzelnen Zeichen gesetzt sind, eindeutig mit einer bestimmten Position innerhalb der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen identifiziert werden. Auch die Algorithmen der Grundrechnungsarten sind völlig unabhängig von so einer Gewichtung gestaltet. In den Vollzug dieser Algorithmen gehen die Gewichtungen, die diesen Folgen – als Zahl gelesen – in den einzelnen Positionen zukommen, nicht ein.

 Bei allen diesen Algorithmen wird natürlich – dazu gibt es auch keine Alternative – immer auch komponentenweise gearbeitet. Die die Summe zweier Zahlen darstellende Zeichenfolge geht in der Besetzung der einzelnen Positionen dieser Zeichenfolge aus der Summe gleichpositionierter Zeichen in den diese beiden Zahlen darstellenden Zeichenfolgen hervor. An der entsprechenden Position festgehalten wird dabei für den Fall, daß diese komponentenweise Addition im Ergebnis zweistellig ist, aber auch nur das – von rechts nach links gelesen – erste Zeichen. Das zweite dieser Zeichen wird dagegen in die komponentenweise Addition der nächsten Position eingebracht. Um zwei beliebige Zeichenfolgen miteinander addieren zu können, muß man also nur wissen, wie man die – einfachen – Zeichen, aus der alle diese Zeichenfolgen gebildet sind, miteinander addiert.

Das ist eine rein technisch-mechanische Angelegenheit. Die einzelnen Zeichenfolgen müssen einem nicht auch als Zahl etwas sagen, damit diese Zeichenfolgen addiert werden können. Auch der Begriff Addition braucht einem dann nichts zu sagen. Man kann dabei sogar in gewisser Weise von der Reihenfolge abstrahieren, in der alle diese Zeichenfolgen in natürlicher Weise geordnet sind. Man braucht um diese Reihenfolge nicht zu wissen, um alle diese Zeichenfolgen in Reihenfolge produzieren zu können. Um in diesem System von einer Zeichenfolge zur nächsten Zeichenfolge zu kommen, genügt es im allgemeinen, das letzte Zeichen einer solchen Zeichenfolge durch das ihr in der Reihenfolge der vorgegebenen Zeichen folgende Zeichen zu ersetzen. Alles andere an Zeichen kann dann einfach unbesehen übernommen werden. Nur wenn es sich dabei um das letzte Zeichen dieser Zeichenmenge handelt, ist dieses Zeichen durch eine Null zu überschreiben und stattdessen das in der vorgegebenen Zeichenfolge vor diesem Zeichen liegende Zeichen entsprechend zu „erhöhen“. Handelt es sich auch dabei wieder um das letzte Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge, so ist entsprechend auch mit diesem Zeichen zu verfahren. Ist eine Zeichenfolge in allen ihren Positionen mit dem letzten Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge besetzt, so ist dementsprechend die ganze Zeichenfolge durch Nullen zu überschreiben, und allen diesen Nullen das erste Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge – in üblicher Bezeichnungsweise also die 1 – voranzustellen. 

Die Null ist also von einer besonderen Bedeutung für die Produktion der die natürlichen Zahlen darstellenden Zeichenfolgen. Im allgemeinen wird in der Null auch keine natürliche Zahl gesehen. Die natürliche Zahlenreihe fängt allgemeiner Lesart zufolge mit der 1 an. Soll man sich die Null den natürlichen Zahlen hinzugefügt denken, müßte das immer auch gesondert vermerkt werden. Statt von den natürlichen Zahlen spricht man dann – allgemeiner – von den positiven ganzen Zahlen.

Die Besonderheit der Null als Zahl liegt in der Besonderheit der Null als Zeichen im allgemeinen Verfahren zur Produktion der die natürlichen Zahlen darstellenden Zeichenfolgen begründet. Als Zahl braucht einem die Null allerdings ebensowenig wie die 1,2,3,... etwas zu sagen, um auch erfolgreich mit dieser Null in der Produktion aller dieser Zeichenfolgen operieren zu können. Man muß einfach nur wissen, wann bzw. wo dieses Zeichen in der fortlaufenden Produktion aller dieser Zeichenfolgen zu setzen ist. Das läßt sich dann alles auf einer Ebene bloßer Kombinationstechnik abhandeln.

Man braucht dabei – wie gesehen – auch nicht auf die einzelne Zeichenfolge als Ganzes sehen. Man hat dazu vielmehr nur so eine Zeichenfolge von ihrem einen – dem rechten – Ende her aufzunehmen, und die Zeichenfolge Zeichen für Zeichen durchzugehen und entsprechend dem Regelwerk für die systematische Produktion aller dieser Zeichenfolgen zu modifizieren. So etwas kann man ganz gut auch eine Maschine tun lassen. Die Entwicklung einer eigenen Identität der einzelnen Zeichenfolge geht damit nicht notwendig einher. Eine solche Identität ergibt sich erst, wenn man auf das ganze Produkt Zeichenfolge sieht, und wenn man auch auf die ganze Reihenfolge solcher Zeichenfolgen inklusive des Gesetzes der Serie, daß alle diese Zeichenfolgen miteinander verbindet bzw. hervorbringt, sieht.

Nur in Verbindung mit diesem Gesetz der Serie verbindet sich mit der einzelnen Zeichenfolge auch eine besondere Identität, die über die „Identität“ einer Zeichenfolge als bloßer (Ab-)folge von Zeichen hinausgeht. Dann nämlich wird so eine Zeichenfolge mit etwas ausgestattet, womit sie in der Menge solcher Zeichenfolgen als bloßer Folge von Zeichen noch nicht ausgestattet ist, mit einer Position in der – dann gegebenen – Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen. Man weiß um die Position einer solchen Zeichenfolge insoweit, als man weiß, welche Zeichenfolge dieser Folge in der Reihenfolge aller dieser Folgen folgt bzw. welche ihr in dieser Reihenfolge vorausliegt. Jede einzelne Zeichenfolge läßt sich so sukzessive bis an den Anfang aller dieser Zeichenfolgen zurückverfolgen, und sie läßt sich in der – unendlichen – Reihenfolge dieser Folgen auch unbegrenzt „weiterverfolgen“. Heißt das aber auch, daß jede solche Zeichenfolge auch wirklich bis an den Anfang aller dieser Zeichenfolgen zurückverfolgt werden muß, damit man auch wissen kann, wo wir mit so einer Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen stehen?

Es wäre so etwas eine ziemlich impraktikable Angelegenheit. Und im übrigen auch: in welcher Form kann man über die Position einer Zeichenfolge in einer ganzen Reihenfolge solcher Folgen dadurch informiert sein, daß man eine Folge bis an den Anfang aller dieser Folgen zurückverfolgt? Mit so einem Verfahren kann uns nicht gedient sein, wenn dabei nicht zugleich auch festgehalten wird, wie viele Zeichenfolgen auf dem Weg von der einen Zeichenfolge zurück zum Anfang aller dieser Folgen liegen. Diese Information kann dann aber nur von den einzelnen Zeichenfolgen selbst kommen. Es muß uns – mit anderen Worten – von jeder solchen Zeichenfolge gesagt sein, wie viele Zeichenfolgen vor dieser einen Zeichenfolge – inclusive dieser einen Zeichenfolge selbst – liegen bzw. die wievielte Zeichenfolge diese Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen ist. Dann allerdings braucht eine Zeichenfolge auch nicht mehr bis an den Anfang aller dieser Zeichenfolgen zurückverfolgt zu werden.

Das Verfahren, das zu diesem Anfang zurückführt, bzw. das von diesem Anfang an zu dieser Folge führt, ist in der von so einer Folge vermittelten Information dann – implizite – immer auch schon mit enthalten. Man muß das ganze Verfahren insbesondere nicht immer auch – explizit – rekonstruieren, um zu wissen wo wir mit der einzelnen Zeichenfolge in der unendlichen Reihenfolge aller von diesem Verfahren produzierten Zeichenfolgen stehen. Das ist deswegen so möglich, weil sich in einer Serie das Gesetz der Serie in jedem Punkt der Serie verwirklicht findet, wie umgekehrt jeder einzelne Punkt zur Verwirklichung der ganzen Serie beiträgt. Eine Serie könnte als Serie nicht mehr sein, was sie ist, wenn ihr auch nur ein einziger Punkt weggenommen wäre. Was heißt das aber konkret für die Identifizierung eines bestimmten Punktes einer Serie als dieses einen ganz bestimmten Punktes dieser Serie? Wie sieht in diesem Fall die Information aus, die uns sagt, wo wir mit einer Zeichenfolge in der ganzen Serie dieser Zeichenfolgen stehen? Wie ist eine solche Zeichenfolge zu lesen, damit diese auch mit einem ganz bestimmten Punkt der Serie identifiziert werden kann, und d.h. damit diese auch als  e i n e  Zeichenfolge in einer ganzen Serie solcher Zeichenfolgen und nicht etwa nur als eine endliche Folge von Zeichen in einer ganzen Menge solcher Folgen von Zeichen verstanden werden kann?

 

V. - Wie wir wissen, dienen alle diese Zeichenfolgen auch der Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen, und diese Zahlen zeichnet offenbar aus, was wir von unseren Zeichenfolgen gerade gefordert haben, die punktgenaue Einordnung in die ganze Serie dieser Zahlen nämlich. Von einer natürlichen Zahl wissen wir sofort, wo wir mit dieser Zahl in der Reihenfolge aller dieser Zahlen stehen. Warum wissen wir das von den natürlichen Zahlen, nicht aber von unseren systematisch entwickelten Zeichenfolgen als Zeichenfolgen, wenn die natürlichen Zahlen ihre Darstellung doch nur in solcherart systematisch entwickelten Zeichenfolgen finden können? Offensichtlich werden diese Zeichenfolgen als natürliche Zahlen dann nicht einfach nur in dem System ihrer Produktion bzw. Darstellung gelesen. Es wird diesen Zeichenfolgen vielmehr eine Interpretation gegeben, die ihrerseits – notwendig – auch einem bestimmten System folgt, und die uns dann jede einzelne Zeichenfolge in ihrer punktgenauen Einordnung in die Reihenfolge aller dieser Folgen realisieren bzw. identifizieren läßt.

Es geht einfach darum, diese Einordnung, die materiell natürlich immer schon gegeben ist, auch intelligibel zu gestalten. Die einzelne Zeichenfolge muß sich in ihrer Position in der ganzen Serie solcher Folgen einfach auch mitteilen können. Es kann eine solche Interpretation aber auch nur das ausschöpfen, was das Verfahren, aus dem alle diese Zeichenfolgen hervorgehen, anzubieten hat. Wir haben in diesem Verfahren bislang nur den Mechanismus gesehen, der einem bestimmten System folgend Zeichenfolge für Zeichenfolge produziert. Wir haben gesehen, was an einer Zeichenfolge zu verändern ist, damit daraus die dieser Folge im System aller dieser Folgen nächstfolgende Folge hervorgeht. Wir haben dabei aber auch gesehen, welche Bedeutung den einzelnen Positionen in einer solchen Zeichenfolge – allgemein – zukommt. Auf die Menge der in diesem Verfahren produzierten Zeichenfolgen bezogen könnte man sagen, daß das ganze Verfahren einfach so organisiert ist, daß mit möglichst wenig Zeichen möglichst viele Zeichenfolgen produziert sein sollen. Es wird in diesem Verfahren tatsächlich auch alles an Kombinationen ausgeschöpft, was aus den vorgegebenen Zeichen an Zeichenkombinationen möglich ist, wenn in diesen Zeichenkombinationen ein und dasselbe Zeichen auch öfters als einmal auftreten darf. 

Systematisch läßt sich so etwas auch nur auf diese eine Art und Weise organisieren. Das Verfahren ist einfach so organisiert, daß eine neue Position in den produzierten bzw. zu produzierenden Zeichenfolgen erst dann eröffnet wird, wenn alles, was es an Möglichkeiten der Kombination auf den bereits etablierten Positionen gibt, auch ausgeschöpft ist. Daraus resultiert dann auch die allgemeine Bedeutung, die den einzelnen Positionen im System aller dieser Zeichenfolgen zukommt. Eine zweite Position wird eröffnet, wenn die erste Position mit allen Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge besetzt worden ist, und d.h., wenn alle diese Zeichen in der vorgegebenen Reihenfolge auch gesetzt worden sind. Man kann nicht einfach dieselben Zeichen in derselben Reihenfolge immer wieder nochmals setzen wollen. Geht man von drei vorgegebenen Zeichen 1,2,3 aus, so würde die daraus hervorgehende Reihenfolge von Zeichenfolgen so aussehen: 1,12,123, 1231, 12312...

 Auf diese Weise könnte in den produzierten Zeichenfolgen keine Reihenfolge in der Weise begründet sein, daß man sich von jeder dieser Zeichenfolgen sagen lassen könnte, welche Position sie in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen einnimmt. Man sieht das einfach daran, daß in dieser Bezeichnungsweise die Position der einzelnen Zeichenfolge von der Anzahl der Zeichen bestimmt ist, die in einer solchen Zeichenfolge gesetzt sind. Das ist allerdings – wie wir wissen – ein untrügliches Zeichen dafür, daß das System dieser Zeichenfolge in seiner Ausdrucksweise bzw. in seinen Ausdrucksmöglichkeiten von einer gegenständlich-materiellen Natur, nicht aber auch von einer sprachlich-kommunikativen Qualität ist. Die einzelnen Zeichen bringen sich in eine Zeichenfolge nicht auch mit einem bestimmten Gewicht entsprechend der Position, die sie in der Zeichenfolge besetzt halten, ein. Die Darstellung als Reihenfolge ist für die Zeichenfolgen dieses Systems damit auch nicht konstitutiv. Im übrigen auch werden von diesem System nicht alle Möglichkeiten der Kombination der vorgegebenen Zeichen zu endlichen Zeichenfolgen auch ausgeschöpft.

Werden die gleichen Zeichen immer wieder aufs neue gesetzt, dann benötigte man, soll uns von den produzierten Zeichenfolgen auch gesagt werden können, welches ihre Position in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen ist, ein parallel geführtes zweites Zeichen, das uns sagt, welcher Wiederholung der vorgegebenen Zeichenmenge das an erster Position geführte Zeichen angehört. Die "durchlaufenden" Zeichen müßten mit anderen Worten indiziert werden. Wiederholt werden kann diese vorgegebene Zeichenmenge dann so oft, wie es verschiedene Kennzeichen zur Unterscheidung, und d.h. Indizierung dieser Wiederholungen gibt. In einem System, das sich ausschließlich der Zeichen einer vorzugebenden endlichen Zeichenmenge zu bedienen hat, können auch diese Kennzeichen wiederum nur dieser Zeichenmenge entnommen sein. Mit Hilfe der unterscheidenden Funktion eines zweiten Zeichens können die Zeichen aus der vorgegebenen Zeichenmenge dann so oft wiederholt werden, als die vorgegebene Zeichenmenge – einschließlich der Null – Zeichen hat. Im Dezimalsystem können die zehn Zeichen dementsprechend zehnmal wiederholt werden, ohne daß es – des unterscheidenden zusätzlichen Zeichens wegen – zu Wiederholungen kommen würde. Das Zeichen an der zweiten Position in den dabei produzierten Zeichenfolgen zeigt an, wie oft bislang schon die vorgegebene Zeichenmenge wiederholt worden ist. Das setzt sich entsprechend dann auch auf den anderen Positionen fort. Aus diesem Verfahren hervorgehenden zusammengesetzte Zeichenfolgen können zur – weiteren – Indizierung dagegen nicht mehr verwandt werden. Die Unzulänglichkeiten des Verfahrens würden dann auf dieses Indexsystem übergreifen. Insgesamt gesehen könnte damit auch keine unendliche Menge von endlichen Zeichenfolgen produziert werden.

Man kann dieses System der Kombination endlicher Zeichenfolgen aus endlich vielen vorgegebenen Zeichen so interpretieren, daß man sagt, es würde dabei immer nur diese vorgegebene bzw. vorzugebende Zeichenmenge in Reihenfolge wiederholt, und daß die zusätzlichen Zeichen in den einzelnen Zeichenfolgen nur der Unterscheidung aller dieser Wiederholungen dienen. Das ist eine legitime Interpretation dieses Verfahrens. Wenn man nur daran interessiert ist, die einer Zeichenfolge im System aller dieser Folgen folgende Folge zu finden, dann braucht – zunächst – auch nur auf das – von links gelesen – letzte Zeichen einer solchen Folge gesehen werden. Auf dieser letzten Position wechseln ständig und immer wieder aufs neue die Zeichen aus der vorgegebenen Zeichenmenge einander ab. Auf den Positionen zuvor ändert sich erst dann wieder etwas, wenn die ganze Zeichenmenge wieder einmal vollständig wiederholt worden ist.

Aus dieser Perspektive betrachtet, und d.h. aus einer Perspektive betrachtet, in der das ganze Verfahren als kontrollierte ständige Wiederholung ein und derselben Zeichenmenge gesehen wird, verfügt jede Position im System aller dieser Zeichenfolgen über ein ganz natürliches Gewicht, unabhängig davon, mit welchem Zeichen so eine Position besetzt ist. Auf der von rechts gelesen ersten Position bringt sich jedes Zeichen nur mit ihrem eigenen Gewicht ein. Es zählt so ein Zeichen dann nur einmal. Die zweite Position bringt sich dagegen bereits von sich aus mit dem ganzen Gewicht der vorgegebenen Zeichenmenge ein. Das Zeichen, das diese Position besetzt hält, zählt dann nicht einfach nur mehr einfach; es zählt vielmehr als das durch den eigenen Stellenwert in der Reihenfolge der vorgegebenen Zeichen bestimmte Vielfache der vorgegebenen Zeichenmenge.

Präzise kann man sich in diesen Dingen nur ausdrücken, wenn man über einen Anzahlbegriff verfügt und jedes Element der vorgegebenen Zeichenmenge mit einem Zahlenwert belegen kann. Im Dezimalsystem beträgt dann die Anzahl der vorgegebenen Zeichen 10, das natürliche Gewicht der zweiten Position ist 10 und das Gewicht der mit x besetzten zweiten Position ist 10 × x. Wenn vorhin gesagt wurde, daß die Zeichen auf der ersten Position nur einmal bzw. nur einfach zählen würden, so war damit gemeint, daß deren Gewicht – im Dezimalsystem – 1 beträgt und d.h., daß sich aus der gewählten Perspektive eine mit x besetzte erste Position mit x × 1 in die Zeichenfolge einbringt. Allgemein gilt, daß das – natürliche – Gewicht einer jeden Position – ausgenommen allein die erste Position – das b-fache des natürlichen Gewichtes der vorhergehenden Position ist, wenn b der Anzahl der vorgegebenen Zeichen – einschließlich der Null – entspricht. Das Gewicht der ersten Position ist dagegen durch das erste Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge bestimmt, wobei in dieser Zählweise die Null – wie vereinbart – außer Konkurrenz läuft.

 

VI. – Die multiplikative Schreibweise in der Beschreibung des Systems der Gewichtungen in unserem System bzw. innerhalb unseres Systems von Zeichenfolgen bringt – die erste Position allein ausgenommen – zum Ausdruck, wie oft wir uns eine bestimmte Zeichenmenge in einer Zeichenfolge, die einem System von Zeichenfolgen zugehört, das aus der kontrollierten ständigen Wiederholung einer vorgegebenen endlichen Zeichenmenge hervorgeht, „enthalten“ denken können. Das gilt für die zweite Position und überträgt sich – mutatis mutandis – auf alle höheren Positionen. Nicht erklärt ist damit die multiplikative Gewichtung der ersten Position durch die 1 bzw. durch das erste Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge.

Dazu müßte man erst definieren, was ein Zeichen dieser Menge mit einem anderen Zeichen dieser Menge multipliziert bedeuten soll. Analog zur Definition von Vielfachen der vorgegebenen Zeichenmenge wird man das Produkt zweier Elemente a × b dieser Menge als a-faches der durch b bestimmten Teilmenge der vorgegebenen Zeichenmenge definieren. Diese Teilmenge umfaßt einfach alle Elemente der vorgegebenen Zeichenmenge, die in der Reihenfolge dieser Zeichen vor dem Zeichen b – einschließlich b selbst – liegen. Multiplikation mit dem ersten Zeichen dieser Zeichenmenge läßt demzufolge jede solche Teilmenge unverändert. Berücksichtigt man zudem noch, daß der Beitrag, mit dem sich eine jede Position in eine Zeichenfolge einbringt, unabhängig von den Beiträgen anderer Positionen ist – man beachte, daß sobald an einer Position, die nicht die erste Position ist, sich etwas ändert, alle niederen Positionen mit Null überschrieben werden – und berücksichtigt man desweiteren auch noch, daß sich die Beiträge aller dieser Positionen zu einem Gesamtgewicht der ganzen Zeichenfolge summieren, dann kann man eine solche Zeichen-folge  im Dezimalsystem – schreiben als:  Gelesen werden müßte dieser Ausdruck nach unserem bisherigen Ausführungen als Summe von Vielfachen von Mengen, wobei die 1 für die Menge mit der 1 als einzigem Element steht. Man kann das ganze Verfahren deswegen auch als Konstruktion ständig um 1 erweiterter Vielfacher der 1 verstehen. Jede einzelne Zeichenfolge ist dem ihren Zahlenwert entsprechenden Vielfachen der 1 gleich. Das ist die Interpretation, die diese systematisch entwickelten Zeichenfolgen in der Mathematik finden, und das ist auch die Interpretation, die Mathematik erst möglich macht.

 

Das Verfahren, das systematisch alle diese Zeichenfolgen hervorbringt, ist ohne jede mathematisch-operative Qualität. Eine solche Qualität fließt diesen Zeichenfolgen erst über ihre Interpretation als Polynomwert zu. Interpretiert wird so ein Wert als Summe einer entsprechenden Anzahl von Einsen. Dadurch zeichnen sich dann insbesondere aufeinanderfolgende Zeichenfolgen in der Reihenfolge aller dieser Folgen durch gleiche Abstände voneinander aus. Dadurch ist auf dieser Menge von Zeichenfolgen dann auch eine Norm definiert, die uns alle diese Zeichenfolgen auch in den – mathematischen – Raum hineingestellt denken läßt. Wir können diese Zeichenfolgen auf einer Halbgeraden mit Anfangspunkt Null veranschaulichen. Dadurch auch gewinnt jede einzelne Zeichenfolge einen stationären Charakter. Wir wissen, wo wir mit jeder solchen Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Folgen stehen, weil wir wissen, wie sie räumlich einzuordnen ist. Wir können aufgrund des Systems der Gewichtung solcher Folgen sofort sagen, welches die Position einer Zeichenfolge im System aller dieser Folgen ist. Das System der Gewichtung im System der Darstellung aller dieser Zeichenfolgen ist dann einem in seinen verschiedenen "Maschengrößen" von der allgemeinen Gewichtung der einzelnen Positionen bestimmten und über die unendliche Reihenfolge von in gleichen Abständen und in gerader Linie angeordneten Einsen ausgebreitetem Netzwerk gleich. Über dieses Netzwerk läßt sich dann jede einzelne Eins in ihrer genauen Position innerhalb der unendlichen Reihenfolge aller dieser Einsen bestimmen.

Dieses System der Gewichtung läßt sich auch umkehren, und d.h. man kann die einzelnen Gewichte im Exponenten mit negativen Vorzeichen versehen. Auf diese Weise werden dann die Abstände zwischen den einzelnen Einsen durch ein überaus engmaschiges Netz überzogen. Jeder rationale Punkt auf der Zahlengeraden findet dann seine Darstellung als endlicher bzw. periodisch-unendlicher Bruch. Nicht jeder Punkt auf der Zahlengeraden wird dadurch aber auch erreicht. Um das zu erreichen, muß man noch die irrationalen Zahlen hinzunehmen, diejenigen Zahlen also, die ihre Darstellung in Form und Gestalt nicht-periodischer unendlicher Brüche finden. Für die Menge dieser Brüche gibt es kein – förmliches – Konstruktionsverfahren. Im übrigen ist in so einem Bruch eine – irrationale – Zahl auch nur dann dargestellt, wenn diese Brüche in einem Erweiterungskörper von  auch konvergieren. Als konvergente Folgen konvergieren sie dann notwendig auch gegen ihre eigene Darstellung.

Der Grenzwert eines nicht-periodisch unendlichen Bruches läßt sich nicht mehr mit Hilfe der geometrischen Reihe bestimmen. Mit Hilfe dieser Reihe läßt sich nur zeigen, daß jeder solche Bruch in der Folge seiner Partialsummen eine – rationale – Cauchy-Folge ist. Das läßt sich von jeder solchen (Bruchstellen-)folge sagen, auch wenn wir über so eine Folge – konkret – nichts wissen. Das gilt auch für die Feststellung von vorhin, wonach eine solche Folge nur gegen ihre eigene Darstellung konvergieren könne. Das haben wir bei periodisch-unendlichen Brüchen so nicht. Von diesen Brüchen läßt sich vermittels der geometrischen Reihe der Grenzwert in Form und Gestalt eines Quotienten zweier ganzer Zahlen bestimmen. Bei nicht-periodisch unendlichen Brüchen besteht diese Möglichkeit nicht. Dort sind wir, was die Darstellung des Grenzwertes so eines Bruches anbelangt, ganz auf diesen Bruch selbst verwiesen. Was aber darf man sich unter einer Feststellung wie der, daß jeder solche Bruch nur gegen seine eigene Darstellung konvergieren könne, vorstellen? Von welcher Qualität muß die Unendlichkeit eines Bruches sein, damit so etwas auch eine zutreffende Feststellung ist?

Die Tatsache allein, daß dafür gesorgt ist, daß auch immer wieder neue Zeichen hinzukommen, reicht jedenfalls nicht aus, um eine solche Folge mit irgendeiner Form von Grenzwert in Verbindung bringen zu können. Auf diese Weise kann es zu keinem Grenzwertübergang kommen. Die Unendlichkeit eines solchen Bruches wäre eine rein prozessuale. Das ist – auf die Produktion gesehen – auch bei periodisch-unendlichen Brüchen nicht anders. In diesen Fällen ist es der außerhalb des Bruches stehende Grenzwert desselben, der diesen Bruch auch den Übergang zu diesem seinem Grenzwert vollziehen läßt. Auf diese Weise erhält die ansonsten nur prozessuale Unendlichkeit eines solchen Bruches auch eine ganz besondere – eine finale – Qualität. Eine solche Qualität kann einem unendlichen Bruch offenbar nur von außen zugesprochen werden. Unendliche Brüche können sich mit dieser Qualität nicht selbst auch ausstatten.

Es kann – mit anderen Worten – kein Grenzwertverfahren geben, das zugleich auch für seinen Grenzwert zu sorgen hätte. Der Grenzwert einer Folge kann von dieser Folge nicht eigentlich auch produziert bzw. konstruiert sein. Durch ihren Grenzwert ist die prozessuale Unendlichkeit einer Folge zu einem Abschluß gebracht. Unendliche Folgen, die – naturgemäß – ohne Ende bzw. Abschluß sind, sind dazu von sich aus nicht in der Lage. Dieser Abschluß kann nur von außen gesetzt werden. So gesehen könnten nicht-periodisch unendliche Brüche auch nicht gegen ihre eigene Darstellung konvergieren. Eine Folge kann nur gegen solches konvergieren, das schon ist, nicht aber auch gegen solches, das – durch die Folge – erst noch wird. Der Grenzwert einer Folge kann nicht das Ergebnis der Konvergenz einer Folge sein. Die Konvergenz einer Folge ist vielmehr Folge dessen, daß diese Folge einen Grenzwert hat. Man kann nicht-periodisch unendliche Brüche nicht selbst ihren Grenzwert bestimmen lassen; man kann umgekehrt einen solchen Bruch nur durch seinen Grenzwert bestimmt sein lassen.

 

VII. – Der Frage der Konvergenz von Folgen kann sinnvollerweise nur aus der Perspektive der Grenzwerte von Folgen nachgegangen werden. Deswegen auch reicht eine rein folgeninterne Eigenschaft wie die Eigenschaft Cauchy-Folge zu sein, nicht aus, um eine solche Folge auch als konvergente Folge nachzuweisen. In  beispielsweise konvergieren auch nicht alle rationalen Cauchy-Folgen wie das Beispiel  zeigt. Als irrationale Zahl ist diese Zahl in ihrer Bruchentwicklung notwendig von einer nicht-periodischen Unendlichkeit. In diesem Fall auch haben wir die Situation, daß ein solcher Bruch von seinem „Grenzwert“ bestimmt ist. Die definierende Eigenschaft von  mit sich multipliziert die Zahl 2 zum Ergebnis zu haben bestimmt eine eindeutige nicht-periodische unendliche Bruchentwicklung, die gerade diese „Zahl“  zum Grenzwert hat. Es gibt dieses Verfahren, das uns Bruchstelle für Bruchstelle immer näher an diese Quadratwurzel heranführt. Man hat dabei immer nur zu überprüfen, welches die jeweils größtmögliche Besetzung einer Bruchstelle ist, die den ganzen Bruch, soweit dieser aktuell dann gerade entwickelt ist, im Quadrat noch kleiner als die Zahl 2 sein läßt. In der Praxis – weil in der Gegenprobe – bedeutet dies, daß man sich dieser Zahl  von beiden Seiten zu nähern hat. So wie das Verfahren organisiert ist, konvergiert der daraus hervorgehende nicht-periodisch unendliche Bruch dann auch gegen .  spielt in diesem Verfahren (in der Terminologie der Analysis) die Rolle einer kleinsten oberen Schranke, also eines Supremums, und dieses Supremum existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen.

Der Bruch als solcher erschließt sich uns – in seiner Bruchstellenfolge – zwangsläufig immer nur in Teilen. Wir haben von  keine zahlenwertige Darstellung, und d.h.  keine Darstellung als nicht-periodisch unendlichen Bruch. Das ganze Verfahren dient vielmehr der Entwicklung eines solchen Bruches und insofern gilt die Feststellung von vorhin, wonach so ein Bruch nur gegen seine eigene Darstellung konvergieren kann, wenn er denn konvergiert. In dem vorliegenden Fall wissen wir, daß die Bruchentwicklung eine konvergente Entwicklung ist, einfach weil diese Entwicklung von ihrem Grenzwert her aufgezogen ist, und d.h. weil – umgekehrt gesagt – dieser Grenzwert einfach in so einen Bruch entwickelt wurde. Für die Konvergenz solcherart entwickelter Brüche bedarf es insofern auch keines Vollständigkeits- axioms.

Das ist bei irrationalen Zahlen, die als allgemein formulierte Folgen bzw. Reihen – so wie beispielsweise die Eulersche Zahl e – definiert sind, grundsätzlich anders. Die Konvergenz der die Eulersche Zahl e definierenden Folge bzw. Reihe läßt sich ohne Vollständigkeitsaxiom nicht zeigen. Immerhin ist dieses Vollständigkeitsaxiom in der Realität soweit abgesichert, daß eine konvergente Folge bzw. Reihe, die nachweislich gegen keine rationale Zahl konvergiert, (notwendig) einen nicht-periodisch unendlichen Bruch zum Grenzwert hat. Die Konvergenz einer solchen Folge bzw. Reihe zeigt sich darin, daß die Folgenglieder in Bruchdarstellung geschrieben zunehmend mehr gültige Bruchstellen aufweisen, und d.h. Bruchstellen, die von allen weiteren Folgengliedern nicht mehr in Frage gestellt werden können. Das ist eine zumindest auch notwendige Voraussetzung für die – mögliche – Konvergenz einer Folge.

Es ist dies eine Voraussetzung, die auch von allen Cauchy-Folgen geteilt wird. Deswegen auch ist ein Axiom wie das Vollständigkeitsaxiom, das – in  – jede Cauchy-Folge für konvergent erklärt, ein mögliches Axiom. Einem solchen Axiom sind von der Realität schon auch seine Grenzen gesetzt, und diese Grenzen bestehen einfach darin, daß nicht-rationale Zahlen ihre Darstellung nur in nicht-periodisch unendlichen Brüchen finden können. Die Menge dieser Brüche ist die einzig systemkonforme Erweiterung der Menge der rationalen Zahlen, die es im System der Darstellung dieser Menge – noch – gibt. Das sind die einzigen Lücken, die von den rationalen Zahlen im System der Darstellung dieser Zahlen noch offen gelassen sind. Geschlossen werden diese Lücken von den Zahlen, die diese Lücken auch offenbaren, den irrationalen Zahlen in Form und Gestalt nicht-periodisch unendlicher Brüche nämlich. Darüber hinaus ist in diesem System von Darstellung, das – wie wir wissen – auch das einzig mögliche System der – intelligiblen und kommunikativen – Darstellung rationaler Zahlen ist, für weitere Zahlen kein Platz.

 

VIII. – Die Menge der reellen Zahlen ist in diesem Sinne eine vollständige Menge. Was es über die rationalen Zahlen hinaus an – reellen - Zahlen noch geben kann – und der Vollständigkeit dieser Menge wegen dann auch gibt – das ist einfach von den weiteren – und abschließenden – Möglichkeiten der Zahldarstellung bestimmt, die uns im System der Darstellung der rationalen Zahlen geboten sind. Reelle Zahl ist dementsprechend – in allgemeiner Form – jedes geordnete, durch ein Komma getrennte Paar von Zeichenfolgen, wobei die erste dieser Folgen grundsätzlich eine endliche Folge ist, während die zweite Folge auch eine unendliche Folge – periodisch oder auch nicht-periodich – sein kann.

Für alle endlichen Folgen – egal welcher Länge, und d.h. Anzahl von Zeichen – gibt es ein Konstruktionsverfahren, das alle diese unendlich vielen Folgen in Reihenfolge produziert. Es werden von diesem Verfahren nur nicht auch unendliche Zeichenfolgen produziert. Die Produktion einer unendlichen Zeichenfolge würde die Aufmerksamkeit des ganzen Verfahrens erfordern. An unendlichen Zeichenfolgen kann in einem – einzigen – Verfahren auch nur eine einzige produziert werden. Verschiedene Folgen können in einem einzigen Verfahren nur in einer ständig wechselnden Zuwendung zu den einzelnen Folgen hervorgebracht werden. Daß diese Zuwendung zu einer Folge immer wieder aufgenommen wird, nachdem zwischenzeitlich diese Zuwendung anderen Folgen gegolten hat und umgekehrt, ändert nichts daran, daß auf diese Weise grundsätzlich nur endliche Zeichenfolgen produziert sein können, unabhängig davon, wie – unendlich – lange das Verfahren läuft.

Ein ins Unendliche geführtes Verfahren kann notwendig nur nach einem festen Programm ablaufen. Es muß bekannt sein, wozu die wechselnde Zuwendung jeweils genutzt wird. Wir haben dieses Programm in unserem Verfahren zur systematischen Produktion aller nur möglichen endlichen Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen endlichen Menge von Zeichen. Es wird dabei nach allen Regeln der Kunst kombiniert, was dann auch dazu führt, daß die dabei produzierte Menge von Zeichenfolgen ständig größer wird. Das bringt einfach die Kombinationstechnik dieses Verfahrens mit sich, die Zeichenfolgen nicht einfach nur fortführt, sondern nach jeder Veränderung als neues Element der ganzen Menge ablegt, um diesem Element dann im weiteren Fortgang des Verfahrens jede nur mögliche Zuwendung erfahren zu lassen. Jedes Element dieser Menge wird auf diese Weise zum Ausgangspunkt einer ganzen Vielzahl von neuen Elementen der Menge. Die 38 beispielsweise erfährt im Dezimalsystem 10 verschiedene Fortsetzungen: 380, 381, 382, ...389. Das ganze Verfahren fächert sich mit anderen Worten immer mehr auf. Jede neu eröffnete Position in der Produktion aller dieser Zeichenfolgen wird bekanntlich dazu genutzt, alles, was zuvor schon auf niederen Positionen an Produktion stattgefunden hat in Verbindung mit dieser neueröffneten Position und unterschieden auch nach den verschiedenen Besetzungen dieser Position durch die verschiedenen Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge neu aufzunehmen. Mit jeder neueröffneten Position wächst somit die produzierte Menge von Zeichenfolgen um das b-fache an, wenn b gleich der Anzahl der vorgegebenen Zeichen ist.

Es ist in diesem Verfahren also nicht so, daß nur eine bestimmte Anzahl von Zeichenfolgen immer weiter fortgeschrieben würde. Es wird in diesem Verfahren vielmehr darauf gesetzt, aus endlich vielen Zeichen alle nur möglichen endlichen Zeichenfolgen zu bilden, wobei in den einzelnen Zeichenfolgen ein Zeichen auch öfters Verwendung finden kann. Mit zunehmender Anzahl gesetzter Zeichen wächst – wie gesehen – die Menge produzierter Zeichenfolgen zunehmend auch in die Breite. Nichtsdestoweniger finden sich alle diese produzierten Zeichenfolgen – unabhängig davon wiederum, wie unendlich lang das Verfahren läuft – in eine Reihenfolge geordnet. Das möchte man der Beschreibung des Verfahrens, so wie sie gerade formuliert wurde, nicht a priori entnehmen wollen.

Das ist dann schon auch bemerkenswert. Wir können uns eine Zeichenfolge beliebiger Länge ganz nach Belieben zusammengesetzt denken und werden diese Zeichenfolge dennoch sofort ihren Platz in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen zuordnen können. Wie man sich auch eine bereits produzierte Zeichenfolge weiterhin fortgesetzt denken möge; im weiteren Verlauf des Verfahrens findet diese Zeichenfolge diese Fortsetzung auch, einfach weil in diesem Verfahren alle nur möglichen Fortsetzungen auch realisiert werden. Das gilt zunächst für die Fortsetzung jeder einzelnen bereits produzierten Folge  um ein einziges weiteres Zeichen. Es gibt dafür so viele verschiedene Möglichkeiten, als uns verschiedene Zeichen zur Produktion aller dieser Zeichenfolgen zur Verfügung stehen. Für jede dieser ersten Fortsetzungen gibt es dann ebenso viele zweite Fortsetzungen. Das alles fächert sich – wie gesehen – sehr schnell auf.

 Will man diese Auffächerung nicht haben, dann muß man sich jeweils für eine dieser verschiedenen möglichen Fortsetzungen entscheiden. Eine unendliche Menge von Zeichenfolgen bekommen wir dadurch auch, sofern wir uns mit jeder Ergänzung eine neue Zeichenfolge abschließend produziert denken. Vor einer jeden weiteren Ergänzung einer solchen Zeichenfolge ist dann die ganze Folge aber auch vollständig neu aufzunehmen. Auf diese Weise bekommen wir auch unbegrenzt viele Zeichenfolgen, und wir bekommen sie – natürlich – auch in Reihenfolge. Alle diese Zeichenfolgen unterscheiden sich in der Anzahl der in ihnen gesetzten Zeichen. Das haben wir so im System aller nur möglichen Kombinationen aus endlich vielen vorgegebenen Zeichen nicht. Dort gibt es zu jeder Anzahl von Zeichen eine ganze Menge von Zeichenfolgen mit genau dieser Anzahl von Zeichen. Nichtsdestoweniger wird in diesem System von Zeichenfolgen jeder einzelnen solchen Folge auch die Behandlung einer sukzessiven Ergänzung um immer weitere Zeichen mit gesonderter „Ablage“ nach jeder Ergänzung zuteil. Es werden dabei auch immer alle Möglichkeiten der Fortsetzung realisiert, die uns durch die vorgegebene Menge an Zeichen geboten sind, und d.h. es wird jede Zeichenfolge an jeder zusätzlichen Position mit einem jeden Zeichen aus dieser Zeichenmenge fortgeführt. Beim Übergang der Menge von Zeichenfolgen mit n Zeichen zur Menge der Zeichenfolgen mit n+1 Zeichen wird – wie gesehen – bei festgehaltener Besetzung der zusätzlichen Position – und besetzt werden kann diese Position wieder mit jedem Zeichen der vorgegebenen Zeichenmenge – alles durchgespielt, was es an möglichen Kombinationen unter Verwendung von höchstens n Zeichen – Wiederholungen inklusive – gibt. Die Lücken, die bei Zeichenfolgen mit weniger als n Zeichen zwischen dem höchstplazierten Zeichen und dem konstant gehaltenen Zeichen auf der (n+1)-ten Position bestehen, werden dabei durch Nullen geschlossen. Die 13 beispielsweise findet sich in der Menge fünfstelliger Zeichen als – etwa – 50013 wieder.

Wenn die von diesem System erfaßten endlichen Zeichenfolgen beschrieben sind als die Menge aller möglichen endlichen Kombinationen aus einer vorgegebenen endlichen Zeichenmenge, dann zählt zu dieser Zeichenmenge auch die Null unbeschadet der besonderen Bedeutung, die dieser Null in der Interpretation solcher Zeichenfolgen als Polynomwert – aber auch im Verfahren der Produktion aller dieser Zeichenfolgen als solchem–  zukommt. Es hat diese besondere Bedeutung – verfahrenstechnisch – nur zur Folge, daß keine Zeichenfolge – von links gelesen – mit Null beginnen kann. Als Polynom gelesen bringen sich Nullen innerhalb einer Zeichenfolge auch nicht in den betreffenden Polynomwert ein. Wir benötigen diese Nullen dann nur, damit die anderen Zeichen, auf deren Beitrag es ankommt, auch richtig positioniert sind. Für die systematische Produktion unserer endlichen Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen Menge endlicher Zeichen ist die Lesart als Polynomwerte allerdings ohne Bedeutung. Die besondere Bedeutung der Null in dieser Lesart spiegelt sich – wie beschrieben –auch in der Produktion dieser Zeichenfolgen wieder. Die lückenschließende Funktion der Null ist – implizite – bereits in der Beschreibung des allgemeinen Verfahrens zur Produktion dieses ganzen Systems endlicher Zeichenfolgen enthalten. Im übrigen auch kann man als ergänzende Regel aufstellen, daß man sich jeder Zeichenfolge des Systems beliebig viele Nullen vorangestellt denken kann, genauso wie man endlichen b-al-Brüchen in ihrer Bruchkomponente beliebig viele Nullen angefügt denken darf.

 

IX. - Mit zunehmender Anzahl an Zeichen werden die einzelnen Zeichenfolgen nicht nur länger; es nimmt auch die Menge an Zeichenfolgen immer mehr zu. Das ganze Verfahren entwickelt sich so gesehen nicht nur in die Länge, sondern gleichermaßen auch in die Breite. Die Menge an Zeichenfolgen, die es fortzuentwickeln gibt, wird ständig größer. Das läßt sich dann nicht vermeiden, wenn man sich nicht nur auf eine mögliche Fortsetzung einer Zeichenfolge beschränkt, sondern wenn man alles an möglichen Fortsetzungen, die sich uns durch die vorgegebene Menge an Zeichen bieten, ausgeschöpft haben will. Dann gibt es eben für jede Zeichenfolge so viele Fortsetzungen, wie die vorgegebene Menge an Zeichen umfaßt. Dadurch, daß jede dieser möglichen Fortsetzungen mit allem kombiniert wird, was an möglichen Kombinationen mit einem Zeichen weniger bereits realisiert worden ist, ist verfahrenstechnisch auch sichergestellt, daß auf diese Weise auch alles an möglichen Kombinationen mit diesem einen zusätzlichen Zeichen an dieser einen zusätzlichen Position erfaßt ist. Geht man so mit jeder möglichen Besetzung dieser zusätzlichen Position vor, dann ergibt sich in der Summe die Menge aller möglichen Zeichenfolgen, die auch an dieser einen zusätzlichen Position besetzt sind, und d. h. die Menge aller möglichen Zeichenfolgen von einer bestimmten Anzahl gesetzter Zeichen.  

    In Kombinationsangelegenheiten ist dies – wie wir wissen – ein gängiges Konstruktionsverfahren. Es ist dies ein Konstruktionsverfahren, das in gleicher Weise auf Wiederholung und Ergänzung setzt. Man setzt zunächst die vorgegebene bzw. vorzugebende Zeichenmenge in Reihenfolge und bildet dann die Menge aller Zeichenfolgen, die aus zwei Zeichen dieser Zeichenmenge bestehen. Mit zunehmender Verfahrensdauer werden diese Zeichenfolgen dann nicht nur länger, sie werden – bezogen jeweils auf eine bestimmte Länge, also Anzahl gesetzter Zeichen – auch zahlreicher. Man kann sich jetzt natürlich fragen, wie es um das mögliche „Ende“ des Verfahrens bestellt ist. Die produzierten Zeichenfolgen werden – wie gesagt – immer umfänglicher, und sie werden immer zahlreicher. Wie umfänglich bzw. wie zahlreich werden sie aber – letztendlich – genau?

   Was den Umfang solcher Zeichenfolgen anbelangt, so ist zu sagen, daß diesem Umfang keinerlei Grenze gesetzt ist, und d.h. diese Zeichenfolgen sind der Anzahl ihrer Zeichen nach – nach oben – nicht beschränkt. Gleichwohl werden in diesem Verfahren nur endliche Zeichenfolgen, und d.h. Zeichenfolgen mit einem letzten Zeichen, einem Zeichen also, auf das kein weiteres Zeichen mehr folgt, produziert. Das ganze System dieser Reihenfolge von Zeichenfolgen dient der Darstellung bzw. auch Produktion der natürlichen Zahlen. Von diesen natürlichen Zahlen heißt es in der – formalen – Mathematik, daß sie bestimmt gegen + ¥ divergieren. Gemeint ist damit, daß die Menge der natürlichen Zahlen bis auf eine anfängliche – variable – erste „geschlossene“ Teilmenge dieser Zahlen in der linearen Ordnung der reellen Zahlen nach jeder einzelnen reellen Zahl zu liegen kommt. Man sagt dazu auch, daß fast alle natürlichen Zahlen jede beliebig vorgegebene (reelle) Schranke überschreiten. Ist damit aber auch das „Grenzwertverhalten“ der Menge der natürlichen Zahlen korrekt bzw. vollständig beschrieben?

Wir können in unserer Vorstellung der natürlichen Zahlen nicht von dem System von Zeichenfolgen abstrahieren, daß uns diese Zahlen darstellen bzw. produzieren läßt. In seinem Grenzwertverhalten ist dieses System ambivalenter Natur. Die Situation ist einfach die, daß in diesem System alles auf die Produktion unendlich vieler beliebig langer Zeichenfolgen angelegt ist. Das wäre das natürliche Grenzwertverhalten, daß man diesem System aufgrund dieser charakteristischen Eigenschaften attestieren möchte. Es werden von diesem System tatsächlich auch unbegrenzt viele Zeichenfolgen beliebiger endlicher Länge produziert. Die Zeichenfolgen werden nicht nur ihrer Anzahl nach immer umfangreicher; sie wachsen auch jede für sich genommen in ihrer Länge immer mehr an Die Zeichenfolgen sind weder ihre (Gesamt-)Anzahl noch ihrer (Einzel-)länge nach begrenzt. Begrenz ist allein die einzelne Zeichenfolge, die in jedem Fall nur endlich viele Zeichen umfaßt.

Es kommt einfach immer wieder noch etwas hinzu. Zeichenfolgen lassen sich immer weiter ergänzen und wenn dafür verschiedene Zeichen zur Verfügung stehen, dann kann diese Ergänzung auch verschieden ausfallen, und d.h. es kann eine Folge zu verschiedenen Folgen ergänzt werden. Für die Produktion aller möglichen Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen endlichen Menge von Zeichen gibt es nur ein System, und dieses System ist auf die Produktion endlicher Zeichenfolgen beschränkt, auch wenn es davon unbegrenzt viele hervorbringt.

Das ist systembedingt einfach so. Die unbegrenzte (Fort-)entwicklung mehrerer Zeichenfolgen innerhalb ein und desselben Verfahrens kann nur in der abwechselnden Zuwendung zu den einzelnen fortzuentwickelnden Folgen geschehen, und diese ständig unterbrochene, aber auch ständig wieder fortgeführte Zuwendung verhindert es gerade, daß es auf diesem Wege auch zu einer – und sei es auch nur prozessual – unendlichen Zeichenfolge kommen könnte. Alle Folgen in diesem System werden innerhalb ein und desselben Verfahrens produziert. Die gerade zur Bearbeitung anstehende Folge wird von Anfang an neu aufgenommen, entsprechend ergänzt bzw. modifiziert, um zugleich auch wieder – der Zuwendung zu einer anderen Zeichenfolge wegen – beiseite gelegt zu werden. Dieses Verbundsystem ist konstitutiver Bestandteil des ganzen Verfahrens und besteht auch im Unendlichen unverändert fort. Eine Entkoppelung dieses Verfahrens kann verfahrensintern nicht herbeigeführt werden. Damit bleibt diesem Verfahren der „natürliche“ Abschluß in Form und Gestalt unendlicher Zeichenfolgen verwehrt.

Diese Zeichenfolgen können als Grenzwerte der in diesem Verfahren produzierten unbegrenzt vielen endlichen Folgen gedacht und verstanden werden. Man kommt in diesem Verfahren allen diesen Zeichenfolgen einfach beliebig nahe. Wir haben in diesem Fall also nicht den einen Grenzwert sondern die ganze Grenzwertmenge. Das Verfahren zur Darstellung der natürlichen Zahlen erschließt uns auch alle irrationalen Zahlen in deren ganzen nicht-periodischen Unendlichkeit. Wenn man Folgen, die auf unendlich viele Nullen enden als endliche Folgen liest und versteht, dann werden wir von diesem Verfahren mit allem an Material ausgestattet, was zur Darstellung der reellen Zahlen benötigt wird. In diesem Sinne gilt dann: . Das ist die These dieser Arbeit.

Das System aller unserer endlichen Zeichenfolgen ist auch, ein in (Reihen-)folge geordnetes System von Zeichenfolgen. Die Reihenfolge der von diesem System produzierten Zeichenfolgen bleibt auch im Unendlichen erhalten. Sie wird dort von unendlich vielen Zeichenfolgen beliebiger endlicher Länge bestritten. Solange die Zeichenfolgen in diese eine Reihenfolge eingebunden bleiben, bleiben diese Zeichenfolgen alle auch abzählbar. Könnten sich diese Zeichenfolgen im Unendlichen tatsächlich von der Verbindung zueinander lösen, die ganze Menge dieser unendlich vielen endlichen Zeichenfolgen würde dadurch zu einer nicht-abzählbaren Menge. Entscheidend für die Abzählbarkeit aller dieser Zeichenfolgen ist ihr Anordnung in Reihenfolge. Unendliche Zeichenfolgen als Grenzwerte des ganzen Verfahrens fügen sich in diese Reihenfolge nicht mehr ein. Im Unendlichen des Grenzübergangsgeschehens dieses Verfahrens zerfällt diese Reihenfolge einfach. Was im Unendlichen passiert entzieht sich in diesem Fall unserem Zugriff auch hinsichtlich des (Grenzwert-)ergebnisses. Wir haben für dieses Ergebnis dann natürlich auch keine Konstruktionsvorschrift mehr. Die geht beim Grenzübergang verloren. Sie verliert sich sowohl in der Unendlichkeit der ganzen Grenzwertmenge wie auch in der Unendlichkeit der einzelnen nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolge aus dieser Menge. Wenn man weiß, daß die Identität der irrationalen Zahlen die Identität nicht-periodisch unendlicher Zeichenfolgen ist, dann weiß man auch, warum es für diese irrationalen Zahlen keine Konstruktionsvorschrift gibt, und warum die Menge dieser Zahlen und mit ihr die Menge der reellen Zahlen insgesamt nicht abzählbar ist. Das ist der einzig tragfähige – weil positiv und nicht einfach nur indirekt geführte – Beweis der Nichtabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen. Zugleich ist damit auch der einzig mögliche Existenzbeweis für diese Zahlen geführt. Es gibt die irrationalen Zahlen in ihrer Gesamtheit als Grenzwertmenge  unseres Systems – wenn man so will – "unendlich-endlicher" Zeichenfolgen, oder es gibt sie nicht.

 Man kann nicht sagen, daß das System (unendlich-)endlicher Zeichenfolgen gegen sein Ende in unendlich viele final unendliche Zeichenfolgen zerfallen würde. Dieser Zerfall findet so nicht statt. Die Produktion unendlicher Zeichenfolgen könnte allenfalls am Ende des ganzen Verfahrens stehen, und alle nur möglichen Folgen dieser Art stünden dann auch gemeinsam an diesem Ende. Die Produktion einer solchen Folge würde notwendig die Produktion aller anderen solchen Folgen nach sich ziehen. Gerade dieses gekoppelte Verfahren ist es aber, daß die Produktion aller dieser Folgen verhindert. Diese Koppelung ist systemimmanent und besteht insoweit auch im Unendlichen unverändert fort. Diese Koppelung kann auch durch keinerlei Grenzwertverfahren aufgehoben werden. Um so mehr können dafür unendliche Zeichenfolgen auch als Grenzwerte dieses Verfahrens angesehen werden. Ihre verfahrens- bzw. folgentechnische Unerreichbarkeit zeichnet Grenzwerte definitionsgemäß auch aus. Eine unmittelbare Folge der Grenzwertdefinition ist aber auch – gegebenenfalls – deren Eindeutigkeit. In diesem Punkt folgen irrationale Zahlen bzw. nicht-periodisch unendliche Zeichenfolgen dieser Definition nicht. Eine Menge kann im mathematischen Verständnis nicht auch Grenzwert sein, es sei denn, es würde mit Mengen von Mengen operiert. Diese Situation liegt in diesem Fall aber nicht vor. Wir begegnen dieser Situation in gewisser Weise bei der "Konstruktion" reeller Zahlen als Cauchy-Folgen rationaler Cauchy-Folgen. Solche "ausgefallenen" mengentheoretischen Konstruktionen gehören auch mehr der Topologie als der Analysis zu.

  

   X. - Das System der unbegrenzt vielen endlichen Zeichenfolgen, so wie sie der – intelligiblen – Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen dienen, läßt sich bereits mit zwei verschiedenen Zeichen in Szene setzen. Bereits mit zwei Zeichen kann das ganze Verfahren in seiner vollen Breite und in seiner vollen Länge entfaltet werden. Die Menge der daraus hervorgehenden Zeichenfolgen ist deswegen nicht weniger eine unendliche, und auch der (Grenzwertmengen-)zerfall am Ende des Verfahrens würde deswegen auch nicht weniger umfangreich ausfallen. Einschränkend wäre dazu allerdings zu sagen, daß die Menge unendlicher Zeichenfolgen mit der größeren Menge von Zeichen, aus denen sich diese Zeichenfolgen zusammensetzen können, auch von einer größeren materiellen Vielfalt und damit in gewisser Weise auch umfänglicher ist. So ist jede Dualzahl ihrer Darstellung nach auch eine Dezimalzahl, wenn man sich in beiden Systemen der gleichen Zeichen für die Null und die Eins bedient. Umgekehrt ist jede Dezimalzahl nicht zugleich auch Dualzahl – das sind nur die Dezimalzahlen, die sich nur aus der Null und der Eins zusammensetzen – so daß so gesehen die Menge der Dualzahlen echte Teilmenge der Menge der Dezimalzahlen ist. In beiden Fällen handelt es sich um unendliche Mengen, genauer noch um abzählbar unendliche Mengen, dienen doch die Zeichenfolgen aus beiden Systemen in gleicher Weise der Darstellung der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen. Größenvergleiche im Unendlichen bzw. von Unendlichem finden in der Analysis allerdings nicht statt. Das Symbol – für –  erfährt in der Analysis keine weitere Differenz- ierung. Eine solche Differenzierung könnte sich innerhalb der Möglichkeiten der Analysis auch nur auf das Kriterium der Abzählbarkeit stützen. Nicht-abzählbare Mengen sind in gewisser Weise umfänglicher als abzählbare Mengen. Das mit der Nicht-Abzählbarkeit einer Menge wird man auch so verstehen dürfen bzw. wollen, daß der natürlichen Zahlen einfach zu wenige sind, um damit auch alle Elemente dieser Menge zu bedienen. Es kann dies aber auch daran liegen, daß wir diese Elemente einfach nicht auf die Reihe(nfolge) bekommen, so wie das Abzählbarkeit – schon – immer auch impliziert bzw. zur Voraussetzung hat. Das ist einfach eine notwendige, wenn nicht auch schon zureichende Voraussetzung für Abzählbarkeit. Reihenfolge allein tut es noch nicht, auch wenn in der Analysis gelegentlich ganz so getan wird – bei geometrisch-graphischer Beweisführung nämlich als ob es das tun würde. Es muß – definitionsgemäß – dann schon auch die – bijektive – Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die abzuzählende Menge sein, damit alle diesbezüglichen Voraussetzungen, so wie sie in der – klassischen, regulären – Abzählbarkeitsdefinition auch festgehalten werden, auch erfüllt sind. Insbesondere daran könnte das mit der Abzählbarkeit auch noch scheitern.

 Die irrationalen Zahlen finden ihre Darstellung in nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen. Wir wissen inzwischen auch, warum man diese Zeichenfolgen nicht auch abzählen kann. Grundsätzlich kann nach zwei verschiedenen Varianten abgezählt werden. Es gibt das geometrisch-graphische, und es gibt das mathematisch-operative Abzählverfahren. Keines dieser Verfahren kann uns beim Abzählen nicht-periodisch unendlicher Zeichenfolgen behilflich sein. Man kann im Dualsystem allerdings von Anfang an auf diesen Zerfall setzen, so wie er jedes System von Polynom-Darstellung grenzwertweise „abschließt“. Man kann die ganze Menge von Null-Eins-Folgen in der Weise sich entwickeln lassen, daß wir mit jedem Verfahrensschritt den Zerfall einer jeden solchen Zeichenfolge in unendlich viele Zeichenfolgen haben. Nach der ersten Verfahrensstufe, die von der reinen Nullfolge zu den unendlich vielen Folgen mit nur einer 1 führt, wächst die Anzahl entwickelter Zeichenfolgen von Verfahrensstufe zu Verfahrensstufe um das unendlich-fache an. Diese Form der Entwicklung setzt – wie gesagt – nicht auf Reihenfolge; sie setzt von Anfang an auf den – geordneten, systematischen  – Zerfall.

Die Abzählbarkeit der dabei produzierten endlichen Zeichenfolgen ist von Verfahrensstufe zu Verfahrensstufe durch das geometrisch-diagonale Abzählverfahren sichergestellt. Das gilt dann – induktiv – auch für alle von diesem ganzen – unendlichen – Verfahren produzierten Null-Eins-Folgen. Diese Menge als Ganzes läßt sich in gleicher Weise nicht auch diagonal abzählen. Das geometrisch-diagonale Abzählverfahren ist ein ebenes Verfahren. Es kann dieses Verfahren nur im Zweidimensionalen Anwendung finden. Ein dreidimensionales unendliches Schema läßt sich bereits nicht mehr in gleicher Weise in allen ihren Elementen durch einen Streckenzug verbinden. Für den Beweis der Abzählbarkeit unserer systematisch produzierten Null-Eins-Folgen wäre das im übrigen aber auch noch viel zu wenig. Welches immer auch eine – beliebig herausgegriffene – Folge dieses Systems von Zeichenfolgen sein möge, es ist diese Folge im weiteren Verfahrensverlauf Grundlage einer unendlichen Serie weiterer Null-Eins-Folgen. Jede solche Folge „zerfällt“ beim Übergang von einer Verfahrensstufe zur nächsten in unendlich viele solcher weiterer Folgen.

Damit entzieht sich die Menge aller solcher Folgen einer räumlichen Anordnung. Die Möglichkeit einer solchen Anordnung reicht nur bis – inclusive – der dritten Verfahrensstufe. Die erste Verfahrensstufe „entwickelt“ die reine Nullfolge in eine in Reihenfolge geordnete Folge von 0-1-Folgen, die jeweils nur an einer Position mit einer 1 besetzt sind. Das ist dann eine einfache lineare Angelegenheit. Mit der zweiten Verfahrensstufe ist in räumlicher Anordnung dann der Schritt in die Ebene zu vollziehen. Aus jeder einzelnen Folge dieser ganzen Reihenfolge von 0-1-Folgen geht ihrerseits eine unendliche Reihenfolge von jeweils mit zwei 1-en besetzten 0-1-Folgen hervor, die man sich am besten in senkrecht zu den einzelnen Elementen geführten Geraden angeordnet denkt. Wir bekommen auf diese Weise ein quadratisch unendliches Schema, das – wie beschrieben – geometrisch-diagonal abgezählt werden kann. Auf der darauf aufbauenden Verfahrensstufe ist in räumlicher Anordnung dann der Schritt in die dritte Dimension des Raumes zu vollziehen. Das setzt sich dann immer weiter so fort, auch wenn wir dann keine Dimension des Raumes – unseres Vorstellungsvermögens – mehr zur Verfügung haben, in der wir uns die weitere Produktion von 0-1-Folgen in räumlicher Anordnung veranschaulicht denken könnten.

Es wird in diesem Verfahren von Verfahrensstufe zu Verfahrensstufe eine neue Dimension eröffnet. Damit stoßen wir in der räumlichen Veranschaulichung dieses Verfahrens an eine natürliche Grenze unseres Vorstellungsvermögens. Unser räumliches Vorstellungsvermögen ist ein dreidimensionales. Wir können uns Räume mit mehr als drei Dimensionen – anschaulich – nicht mehr vorstellen. Die systematische und zerfallsorientierte Produktion von 0-1-Folgen läßt sich also nicht räumlich veranschaulichen. Um so bemerkenswerter ist es, daß es für alle diese Folgen eine räumliche Veranschaulichung auf einer Gerade gibt. Wir können uns dazu auch jede dieser Folgen nach der letzten gesetzten Eins abgebrochen denken. Das läßt sich ohne Einschränkung der Allgemeinheit sozusagen auch einrichten. Voraussetzung dafür wäre nur, daß keine dieser Folgen auch unendliche viele Einsen enthält. Diesen Gefallen tun uns diese Folgen – verfahrens- bzw. produktionsbedingt – aber auch. Ansonsten haben diese Nullen auf Umfang wie auch Inhalt der von diesem Verfahren bzw. dieser Konstruktion produzierten Zeichenfolgen keinen Einfluß. Diese Nullen sind in erster Linie auch nur aus. produktionstechnischen Gründen gesetzt, um das ganze Verfahren auf "Austauschebene" abwickeln bzw. beschreiben zu können. Die Reihenordnung dieser – endlichen – Zeichenfolgen ist dann einfach durch die lineare Anordnung der natürlichen Zahlen gegeben. Wir haben alle diese Zahlen dann einfach in Dualdarstellung vorliegen.

Das ist im übrigen auch das Rezept, das uns alle in diesem Verfahren produzierten Folgen abzählen läßt. Dieses Rezept besteht darin, daß man die von Verfahrensstufe zu Verfahrensstufe aus einer unendlichen Reihenfolge von 0-1-Folgen hervorgehende Menge abzählbar vieler abzählbarer Mengen wieder auf eine einfache Reihenfolge von Folgen zurückführt, bevor man in einer nächsten Verfahrensstufe aus dieser unendlichen Reihenfolge von Zeichenfolgen wieder eine Menge abzählbar vieler abzählbarer Mengen hervorgehen läßt. Auf diese Weise ist dann – induktiv – auch die Abzählbarkeit der von diesem – unendlichen – Verfahren insgesamt produzierten Menge von Null-Eins-Folgen sichergestellt.

Was die räumliche Veranschaulichung aller dieser Folgen betrifft, so konzentriert sich diese ganz auf diese eine Reihenfolge von Zeichenfolgen, auf die die Verfahrensstufe für Verfahrensstufe produzierten Zeichenfolgen immer wieder zurückgeführt werden. Diese Zeichenfolgen unterscheiden sich alle von einander, und wenn man alle diese Zeichenfolgen – vermöge der dafür geltenden Lesart solcher Folgen als eines gewichteten Systems von Positionen – als Bruchkomponenten von b-al-Brüchen mit ganzzaligem Anteil 0 liest, dann entspricht jeder solchen Folge genau ein Punkt des Einheitsintervalls [0,1]. Im weiteren Verfahrensverlauf wird dieses Einheitsintervall dann immer dichter besetzt. Es wird nur nicht auch vollständig besetzt. Vollständig besetzt würde es nur, wenn uns dazu auch alle 0-1-Folgen zur Verfügung stünden, die an unendlich vielen Positionen mit einer 1 besetzt sind. Mit solchen Folgen kann uns einmal mehr aber auch dieses Verfahren nicht dienen. Es ist auch dieses – zerfallsorientierte – Verfahren ein gekoppeltes Verfahren, das – verfahrensbedingt – auf die Produktion endlicher – was die Anzahl gesetzter 1-en betrifft – 0-1-Folgen beschränkt ist. Auch diese Variante der systematischen Produktion von 0-1-Folgen vermag die Lücke zwischen diskreter Diskontinuität und geschlossener Kontinuität nicht zu überbrücken. Dasselbe würde auch für den Ansatz einer unbegrenzten Fortführung aller „vollständig“ untereinander aufgelisteten endlichen Zeichenfolgen in einem – beliebigen – System von Polynom-Darstellung, und d. h. bei Verwendung bzw. Verarbeitung endlich vieler beliebiger Zeichen – es muß sich dabei also nicht um das Dezimalsystem handeln – gelten. Aus diesem Grunde auch funktioniert das Argument im Cantorschen Diagonalverfahren zum Beweis der Nicht-Abzählbarkeit der reellen Zahlen so nicht. Weder horizontal, noch vertikal, noch zentral läßt sich also in der Anordnung bzw. Entwicklung unserer systematisch produzierten Zeichenfolgen die genannte Lücke schließen. Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen ist einfach begrenzt, womit wir auch wieder bei der – sozusagen verbalen – These der vorliegenden Arbeit wären.

Das ist der Beweis der Kontinuumshypothese. Es gibt diese einem bestimmten Typ, und d.h. einem bestimmten Konstruktionsverfahren verpflichtete (Teil-)menge von Zeichenfolgen nicht, die sich in der Menge aller (endlichen wie unendlichen)  Zeichenfolgen zwischen den – abzählbar – unendlich vielen endlichen bzw. periodisch-unendlichen Zeichenfolgen auf der einen Seite und den – nicht abzählbar – unendlich vielen nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen auf der anderen Seite schieben könnte. Es gibt für so eine (Teil-)menge von Zeichenfolgen kein Konstruktionsverfahren. Mit den endlichen bzw. periodisch-unendlichen Zeichenfolgen ist bereits das Maximum dessen ausgeschöpft, was sich – konstruktiv – an Zeichenfolgen ausschöpfen läßt. Die Menge der endlichen sowie periodisch-unendlichen Zeichenfolgen ist zudem auch von keiner größeren Mächtigkeit als die Menge der endlichen Zeichenfolgen. Alles an nicht periodisch-unendlichen Zeichenfolgen ist notwendig aber nicht-periodisch unendlich. Diesbezüglich gilt das „Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten“ („tertium non datur“) und es gilt diesbezüglich dieses Gesetz auch absolut. Es gibt dieses Verfahren einfach nicht, das uns neben der systematischen Produktion aller endlichen bzw. periodisch-unendlichen Zeichenfolgen auch noch mit Teilen der Menge nicht-periodisch unendlicher Zeichenfolgen dienen könnte. Das einzige Verfahren, das uns mit allen endlichen bzw. periodisch-unendlichen Zeichenfolgen bedient, ist unser vieldiskutiertes Verfahren zur Darstellung bzw. Produktion der Menge der natürlichen Zahlen, und dieses Verfahren dient uns nachweislich mit keiner einzigen nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolge. Also gilt die Kontinuumshypothese. Es ist diese Hypothese einfach eine notwendige Folge dessen, daß sich Grenzwertverfahren analytisch nicht einholen lassen. Wir befinden uns entweder – noch – diesseits oder – schon – jenseits des Grenzübergangsgeschehens. Es lassen sich dabei keine (Dedekindschen) Schnitte führen, die uns dieses Geschehen unterbrechen ließen, um zu sehen, wo wir im ganzen (Grenzübergangs-)verfahren gerade stehen. Es spiegelt sich in dieser (Hypo-)these eine Ordnung des Seins wider, die sich in ihrer Transzendenz der Endlichkeit unseres Denkens entzieht.