Konklusion: Die Faszination der Zahl
Von den vielen Gedenktagen, die es inzwischen gibt, ist einer davon auch einer Zahl gewidmet, der Zahl π .Gedacht wird dieser Zahl am 14. März bzw. - in US- amerikanischer Notation - in 3.14 entsprechend den drei ersten Ziffern in der (Dezimal-)bruchentwicklung dieser Zahl. Das Interessante an der mathematischen Größe π ist – im Vergleich zu ihrer einfachen geometrischen Veranschaulichung als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises – ihre notwendige Unfertigkeit in explizit-materieller Darstellung. Dieses Schicksal teilt diese Zahl allerdings mit allen irrationalen Zahlen, und unter allen diesen Zahlen ist die Zahl π keineswegs die interessanteste. Die Eulersche Zahl e beispielsweise ist von einer weitaus größeren mathematischen Bedeutung, auch wenn diese Zahl als unendliche Reihe nicht von der faszinierenden Einfachheit der Zahl π ist, in der einfache Endlichkeit und unüberschaubare Unendlichkeit in inniger Synthese einander verbunden sind. Ganze Rechenoperationen leiten sich aus dieser Zahl e ab.
Ihre – formale - mathematische "Existenz " als Zahl verdanken Größen wie π oder e allerdings auch nur dem Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen. Allein dieses Axiom läßt uns auch der Konvergenz unendlicher Brüche, wie sie solche Größen darstellen bzw. wodurch solche Größen dargestellt werden, versichert sein, auch wenn sich die einzelne irrationale Zahl nicht so darstellen läßt, daß ihre Bruchstellenfolge als unendliche Folge – einstelliger – natürlicher Zahlen, und d.h. als Abbildung von nach angegeben wäre. Das kann man nicht, und damit stellt sich die Frage, inwiefern bzw. inwieweit irrationale Zahlen auch „sind“.
Von der Zahl π - genauso auch wie von der Zahl e wie auch von jeder anderen irrationalen Zahl - wissen wir aufgrund einer bestimmten Eigenschaft dieser Zahl, einer definierenden Eigenschaft dieser Zahl gewissermaßen. Wir wissen von einer solchen Eigenschaft aber auch nur in Einzelfällen, wobei der –im allgemeinen auch recht aufwendige – Nachweis der Irrationalität so einer Zahl(darstellung) immer auch erst zu führen ist. In ihrer breiten Masse bleiben uns die irrationalen Zahlen verborgen. Die formale Definition dieser Zahlen als nicht-periodische unendliche Brüche, und d.h. die Definition dieser Zahlen in bloßer –negativer –Abgrenzung von den rationalen Zahlen kann nicht auch als – effektive – materielle Begründung dieser Zahlen dienen. Es gibt diese Zahlen nicht schon deswegen, weil wir wissen, wie sie nicht sind bzw. nicht sein dürfen. Das funktioniert so in unendlichen Dingen nicht. Es bedarf dazu schon eines geordneten, und d.h. expliziten Verfahrens in der sukzessiven Besetzung eines solchen Bruches Bruchstelle für Bruchstelle Aus der Definition der Zahl π leitet sich ein solches Verfahren ab, auch wenn man dieser Definition –wie gesagt- nicht sofort auch ihre –nicht-periodische – Unendlichkeit ansieht.
Die irrationalen Zahlen gibt es nicht einfach nur deswegen, weil wir wissen, wie sie auszusehen haben bzw. wie sie nicht aussehen dürfen, und d.h. weil wir über ihre definierende Eigen- schaft wissen. Der Schluß von der Eigenschaft auf Existenz ist in diesem Fall auf jeden Fall ein ungültiger Schluß. Unendliches will immer erst einmal auch produziert sein. Das gilt zumal für so etwas "Irreguläres" wie nicht-periodisch unendliche Bruchentwicklungen. Es gibt dafür allgemein keine Gebrauchsanweisung und kein Regelwerk. Es gibt dafür im Einzelfall bzw. – besser – in einzelnen Fällen, aber auch nur (soweit wir wissen) in einzelnen Fällen das Verfahren. Ohne so ein Verfahren geht es in keinem Fall. Sollte es dieses Verfahren für jede einzelne irrationale Zahl geben, dann bedürfte es dazu wiederum auch eines Verfahrens. Nicht von jeder irrationalen Zahl wissen wir auch um eine definierende Eigenschaft wie etwa b-al-Bruchdarstellung, Reihenentwicklung oder Folgendefiniton und dgl. mehr. Anders können wir um solche Zahlen resp. Bruchentwicklungen aber auch nicht wissen. Über ihre b-al-Bruchdarstellung erschließt sich uns keine dieser Zahlen.
In ihrer Gesamtheit erschließt sich uns die Menge irrationaler Zahlen nur als Grenzwertmenge des Verfahrens zur Darstellung resp. Produktion der Menge der natürlichen Zahlen. Die wechselnde Zuwendung dieses Verfahrens zu den einzelnen Zeichenfolgen in deren Fortschreibung zu immer größeren Zeichenfolgen hat zur Folge, daß die Entwicklung vollständiger unendlicher Zeichenfolgen blockiert ist. Dazu bedürfte es der ungeteilten Aufmerksamkeit des ganzen Verfahrens auf die Entwicklung einer einzigen solchen Folge ganz alleine. So aber verteilt sich diese Konzentration auf alle nur möglichen endlichen, aus der vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlichen Zeichenmenge und führt uns so – grenzwertweise allerdings nur – auch an alle unendlichen Zeichenfolgen heran. Als Verfahrenselement bleibt die genannte Blockade nämlich auch im Unendlichen, und d. h. im Vollzug des Grenzüberganges erhalten. Sie verhindert wie gesagt, daß auch nur eine einzige Folge tatsächlich erreicht, also auch angenommen werden könnte, so wie wir das bei allen sich aus definierenden Eigenschaften ableitenden Verfahren haben. Das gleiche gilt bei Setzen immer nur ein und desselben Zeichens, einfach weil es dann zwangsläufig zur Entwicklung nur einer einzigen Folge kommen kann, der dann notwendig auch die ganze Aufmerksamkeit des Verfahrens gilt.
In die Produktion von Unendlichem können wir nicht regulierend bzw. korrigierend eingreifen. Wir haben dabei einfach das dazu entwickelte – oder soll man sagen – entdeckte Verfahren tun zu lassen, was zu tun es in der Lage ist. Mit der Produktion aller nur möglichen endlichen Zeichenkombinationen aus einer vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlichen Menge von Zeichen geht auch – im Grenzübergang – die nicht weniger umfassende Produktion aller nur möglichen unendlichen – periodischen wie nicht-periodischen – Zeichenfolgen einher.
Wir bekommen diese Zeichenfolgen zur Gänze oder wir bekommen keine einzige davon. Alle diese unendlichen Zeichenfolgen sind in gleicher Weise Element der Grenzwertmenge dieses Grenzwertverfahrens. Wie jedes andere solche Verfahren läßt sich auch dieses Verfahren nicht zwischendurch anhalten, um zu sehen, wie weit das Verfahren in der Pro- duktion unendlicher Zeichenfolgen gerade gediehen ist. Grenzwertverfahren lassen sich analytisch nicht einholen, will heißen rekonstruieren.
Es ist dieses Verfahren somit genau auch dasjenige Verfahren, das eine – das die – Brücke von den natürlichen zu den irrationalen und mithin auch den reellen Zahlen schlägt. Und damit steht auch fest, daß es zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen keine Menge geben kann, die sich ihrem Umfang bzw. ihrer Mächtigkeit nach von beiden Mengen unterscheiden könnte. Und nichts anderes auch besagt die Kontinuumshypothese.