Expose

 

6. Das Cantorsche Diagonalverfahren

 

   I. – Es gäbe dabei auch  keine Probleme mit dem Diagonalschnitt, nachdem nicht-besetzte Stellen in endlichen Brüchen nach Belieben auch mit Nullen aufgefüllt werden können. Man müßte allerdings auch zugestehen , daß Brüche mit beliebig vielen Nullen einsetzen dürfen. Abzählbar bleibt die Menge aller endlicher  Brüche in den Bruchkomponenten nichtsdestowenig -er weiterhin. Das Problem dabei ist allerdings, daß wir diese Brüche nicht nach der Anzahl beginnender Nullen ordnen können, einfach weil jede solche Anzahl mit der unendlichen Menge natürlicher Zahlen zu kombinieren ist, und Unendlichkeiten sich nicht aneinanderreihen lassen. Das geht nicht. Das geht auch formal nicht. Das verbietet sich. Es ist einfach so, daß von Unendlichem bzw. in Unendlichem immer auch alles ausgeschöpft ist, was es auszuschöpfen gibt. Deswegen können unendliche Folgen auch nicht – mehr – ergänzt werden, und sei es auch nur um ein einziges Zeichen. Deswegen auch läßt sich ein unendliches quadratisches Matrix-Schema wie das zur systematischen Anordnung der rationalen Zahlen nicht zeilen- oder  spaltenweise abzählen. Da wäre man dann schon nach einer Zeile bzw. Spalte am Ende.

 Es ist die Idee mit diesem Diagonalzug, die uns diese unendlich vielen Enden von sowohl Zeilen als auch Spalten alle in einem Ende zusammenführen läßt. Dann reichen die natürlichen Zahlen, die sich ansonsten schon in – irgendeiner – Zeile bzw. Spalte erschöpft hätten, für das ganze Matrix-Schema aus. Und so ein Matrix-Schema ist auch abbildungstechnisch einigermaßen gut abgedeckt. Das Abbildungsgeschehen genügt insoweit schon auch den Anforderungen der Abzählbarkeitsdefinition, wenn  man einmal davon absieht, daß wir es in diesem Fall nicht mit , sondern mit einer modifizierten Produktmenge zu tun haben. So oder so bewegen wir uns auch in diesem Fall auf der  Unendlichkeitsebene der natürlichen Zahlen,  und das genügt an sich. Und so wie die endlichen Brüche abgezählt werden können, können wir sie uns auch untereinander aufgeschrieben denken. Und den Diagonal-Schnitt können wir – wie gesagt – auch führen. Zweckmäßigerweise sollten wir uns in der Darstellung dieser Brüche auf 0-1-Folgen beschränken. Man kann die Situation mit dieser Menge auch so beschreiben, daß man in ihr einfach die um die Sonderfunktion der Null entledigte Menge der natürlichen Zahlen sieht. Die Null darf in dieser Menge auch vorneweg – in beliebiger Anzahl – stehen. Und man erreicht diese Menge schon auch mit dem Verfahren zur Darstellung bzw. Produktion der natürlichen Zahlen.

    Das ist kein Problem. Wir brauchen in der linearen Anordnung dieser Zahlen folglich auch nicht den Umweg über ein quadratisch-unendliches Matrix-Schema zu gehen. Das geht auch direkt. Wenn man alle Brüche – untereinander – aufgelistet hat, dann kann der im Cantorschen Diagonalverfahren konstruierte Bruch nicht auf dieser Liste nicht stehen. Wenn das System der Darstellung dieser Folgen so ist, daß jede nur mögliche Bruchstellenfolge davon auch erfaßt ist, dann gibt es den Bruch, der von diesem Verfahren nicht auch entwickelt würde, einfach nicht. Das ist auch eine Eigenschaft der Pufferfunktion von Unendlichem. Bei Verwendung von nur zwei Zeichen sieht die Konstruktion des besagten Diagonalschnittes so aus, daß eine Null dort gesetzt wird, wo man auf eine Eins trifft, und umgekehrt. Damit erreicht man aber – natürlich – auch nur eine 0-1-Folge. Und wenn diese systematisch in dieser Liste alle erfaßt sind, dann findet man diese Folge in dieser Liste an einer bestimmten Stelle auch vor. Die ist in dieser Liste dann einfach auch enthalten.

   Man kann sich jetzt fragen, wo dann der Fehler im Cantorschen Diagonalverfahren liegt. Wenn wir uns einmal die Situation im Endlichen ansehen, dann ist die Situation dort die, daß sich in einem quadratischen Schema – sagen wir einmal in einem  -Schema – nicht alle Zahlenkombinationen, die aus zwei Zeichen gebildet werden können, erfassen lassen. Das ist ja schon in einem  -Schema so. Aus zwei Zeichen lassen sich 4 verschiedene 2-Zeichen-Folgen bilden. Und die bringt man in einem  -Schema natürlich nicht mehr unter. Allgemein gilt in dieser Frage die Formel, daß sich aus n Zeichen auf m Positionen n  (insgesamt m mal) verschiedene Zeichenfolgen bilden lassen. Bei zwei Zeichen auf zwei möglichen Positionen sind es also  Zeichenfolgen, und wenn 3 Positionen zu besetzen sind, dann verdoppeln sich – wiederum – die Möglichkeiten. Wir sind dann bei 8 verschiedenen Zeichenfolgen. Zunehmend entfernen wir uns damit von einem quadratischen Matrix-Schema.

   Wir können in so einem Schema dann – natürlich – auch keinen Diagonalschnitt mehr führen. Wir können die fehlenden Stellen nicht einfach auch mit Nullen auffüllen, um so von der Menge der 2-Zeichenfolgen zu 8-Zeichenfolgen zu wechseln, weil zwar dann das Matrix-Schema quadratisch, nicht mehr aber vollständig im Sinne aller möglichen Besetzungen  von 8-Zeichenfolgen mit 2 Zeichen wäre. Auf einer Seite haben wir so immer eine Unvollständigkeit. Entweder wir machen das Schema quadratisch und haben dann nicht alle möglichen Besetzungen erfaßt, oder aber wir achten auf vollständige Besetzung und bezahlen dafür mit einem Mangel an Quadratizität mit der Folge der Unmöglichkeit eines Diagonal-Schnittes. Im Endlichen kann man also nicht beides haben. Wenn man von einem quadratischen Schema ausgeht, dann ist dieses in jedem Fall unvollständig, was die Realisierung aller Möglichkeiten verschiedener Besetzung mit Zeichen anbelangt, und dann funktioniert das mit der Konstruktion des Diagonalschnittes auch. Dann ist sichergestellt, daß sich die solcherart konstruierte Zeichenfolge nicht auch bereits unter den aufgelisteten Folgen findet. Das kann dann nicht anders sein.

 

   II. – Im Unendlichen sieht das alles offenbar – etwas – anders aus. Hier ist dann zwar für Quadratizität gesorgt, und auch das mit dem Diagonalschnitt funktioniert dann folgerichtig auch; wir können diese Diagonalelemente nur nicht alle auch durchnumerieren. Das funktioniert so einfach nicht. Wir können uns in dem Matrix-Schema auch nicht einfach auf die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen zurückziehen. Im Folgenbereich existiert diese Form von Unendlichkeit so nicht. Dort ist eine Folge entweder endlich oder sie ist unendlich. Man könnte sich allenfalls auf ein Verfahren verständigen, daß man nicht-besetzte (Bruch-)stellen nicht einfach unbegrenzt sondern nur soweit mit Nullen besetzt sein läßt, wie das zur Konstruktion des Diagonalschnittes erforderlich ist, und d. h. soweit mit Nullen besetzt sein läßt, daß dieser Diagonalschnitt immer auch auf eine – mit Null – besetzte Stelle trifft. Mit zunehmender Diagonalführung wachsen diese Nullen auch – überproportional – an. Bekanntlich ist es so, daß die Menge der natürlichen Zahlen mit anwachsender Stellenzahl immer auch länger auf der Stelle tritt, und d. h. daß  mit zunehmender Stellenzahl zunehmend auch mehr natürliche Zahlen zwischen zwei Stellenergänzungen Platz haben. Im Diagonalschnitt steht dagegen jede (Bruch-)stelle gegenüber der vorherigen um eine um Eins erhöhte Stelligkeit. Die x-te Bruchstelle steht in der Zahl, der sie entnommen wurde, auch an x-ter Stelle. Das aber wiederum bedeutet, daß dieser Diagonalschnitt sehr bald ausschließlich nur noch auf Nullen trifft. Bei Verwendung von zwei Zeichen tut er das schon mit der dritten Stelle.

   Das ganze läßt sich damit vorab schon ganz genau abschätzen. Das ist alles sehr überschaubar. Das Verfahren funktioniert insoweit auch nicht. Es wird davon eine Folge beschrieben, die Bestandteil der Liste ist. So läßt sich das also nicht aufziehen. Eine unendliche Zeichenfolge ist etwas anderes als eine natürliche Zahl, und so stellt sich die Frage, wie wir an solche Zeichenfolgen herankommen. Das Verfahren zur Darstellung der natürlichen Zahlen tut das nicht. Damit stellt sich die Frage der Existenz solcher Zeichenfolgen. Und diese Existenz ist nicht einfach durch die Charakterisierung nicht-periodisch unendlich gegeben. Und um diese Brüche geht es. Die Existenz periodisch unendlicher Brüche kann als gegeben angesehen werden. Das ist nicht das Problem. Das Problem sind die  nicht-periodisch unendlichen Brüche, einfach weil man für jeden solchen Bruch dann schon auch das Verfahren braucht, das so einen Bruch in seinen unendlich vielen Bruchstellen in nicht-periodischer Weise besetzt. So etwas läßt sich nicht Element für Element einrichten. Das ist auch so im periodischen Fall, nur daß dort das Verfahren, das das an unserer Stelle tut, natürlich bekannt ist. Im nicht-periodischen Fall kann man das so nicht sagen.

   So ein Bruch ist eine sehr variabel gestaltete Angelegenheit. Wir werden auch keinen einzigen dieser Brüche jemals in Gänze in allen seinen Bruchstellen zu Gesicht bekommen (können). Nur im – operativen – Symbol können solche Zahlen dann auch zur Darstellung gelangen, so wie beispielsweise durch das Wurzelzeichen bei  etwa. Daß es sich dabei um einen nicht-periodisch unendlichen Bruch handelt, das bedarf allerdings auch erst des Nachweises. Das sieht man so einer Darstellung nicht einfach an. Und der entsprechende Nachweis ist im allgemeinen auch nicht trivial. Der zu  nimmt sich noch vergleichsweise einfach aus, und findet sich im übrigen auch in jedem Analysis-Lehrbuch. Er dient dort als Beleg dafür, daß das mit den rationalen Zahlen noch nicht – gut – sein Bewenden haben kann. Im Körper der rationalen Zahlen gibt es zu jeder positiven Zahl nicht auch eine (Quadrat-)wurzel. Das läßt sich zeigen, und das beweist zugleich auch die Irrationalität von , soweit es sich dabei auch um eine Zahl handelt, und d. h. soweit diese  auch existiert.

   Das ist keine formale Angelegenheit. Wir können diese Existenz nicht einfach als gegeben ansehen. Auf einer materiellen Ebene ist diese Frage durch die Existenz einer entsprechenden Bruchstellenfolge beantwortet. So eine Zahl gibt es, wenn es das Verfahren gibt, das uns so eine Bruchstellenfolge produziert (sein läßt). Das ist die vorrangige Frage. Es ist dies eine notwendige, nicht aber auch schon zureichende Voraussetzung für die Existenz einer Zahl wie   etwa. Man kann Zahlen nicht losgelöst von ihrem Zahlenwert sehen. Die unendliche Bruchstellenfolge als solche, die existiert natürlich, weil wir das Verfahren haben, das diese Folge produziert. Die Frage ist nur, ob sich damit auch ein Zahlenwert verbinden läßt. Es genügt dazu nicht, daß sich solche Folgen auch miteinander vergleichen lassen. Das ist möglich, weil sich so ein Vergleich – noch – im Endlichen abspielt. Man muß dazu nur Bruchstelle für Bruchstelle miteinander vergleichen und sehen, wann zum ersten Mal – positionell – gleiche Bruchstellen nicht auch gleich besetzt sind. An irgendeiner Bruchstelle ist das bei verschiedenen Brüchen notwendig auch so, und Brüche verfügen in Gänze nur über endliche Bruchstellenpositionen, auch wenn es deren unendlich viele sind. Die Vergleichbarkeit entsprechend auch den Erfordernissen der Anordnungsaxiome wäre also auf jeden Fall schon gegeben. Gleichwohl reicht das – der Mathematik – nicht, obwohl – wie gesagt – dadurch den Bestimmungen des Formalismus durchaus schon Genüge getan wäre.

  

   III. – Der Zahlenwert einer Zahl ist an sich keine mathematische Kategorie. Im mathematischen Formalismus ist davon nirgends die Rede. Das verhält sich auch so mit nicht-periodisch unendlichen Brüchen. Wenn die Existenz solcher Brüche über deren – rein – materielle Gegebenheit hinaus eine fragliche ist, dann deswegen, weil es sich bei so einer Größe im mathematischen Sinne um eine unendliche Folge bzw. Reihe handelt, und da stellt sich notwendig immer auch die Frage der Konvergenz. Divergente Reihen eignen sich natürlich nicht zu Zwecken von Zahldarstellung. Repräsentiert wird so eine unendliche Folge resp. Reihe durch ihren Grenzwert, und wenn es diesen Grenzwert nicht gibt, dann ist so eine Folge mathematisch einfach keine definierte Größe. Es gibt, will heißen existiert dann zwar die Folge; wir wissen des fehlenden Grenzwertes wegen nur nicht auch, wo wir mit dieser Folge – genau – stehen. Das wissen wir – genau – auch so nicht; wir können uns im Konvergenzfall allerdings sicher sein, daß diese Folge genau auch einen bestimmten Folgenwert repräsentiert. Explizit könnte das allerdings auch wieder nur durch die Folge als solche und als Ganzes geschehen, etwas, was sich bekanntlich nie auch umsetzen läßt.

   Wir werden so einer Folge nie im Ganzen ansichtig werden und auch sonst nichts dafür tun können, daß sie zu jemandes anderen Ansicht gelangen könnte. An der Nicht-Periodizität einer Bruchentwicklung wie der von  gibt es jedoch keinen Zweifel. Dieser Beweis wird indirekt geführt, indem eine Darstellung dieser "Zahl" als  zu einem Widerspruch geführt wird. Der Zahlenwerte einer Zahl resultiert aus dem Stellenwertsystem, das der Darstellung aller Zahlen zugrunde liegt. Dieses Stellenwertsystem ist – wie gesagt – Interpretation des Systems zur Produktion aller – dieser – Zeichenfolgen, so wie wir sie zur Darstellung der natürlichen Zahlen verwenden. Und die Darstellung aller anderen Zahlen leitet sich aus diesem System ab. Bezogen auf den Zahlenwert handelt es sich bei diesem System von Zahldarstellung um eine abgekürzte Schreibweise. In Erscheinung treten dabei nur die Koeffizienten eines Polynoms in der – im Dezimalsystem – "bestimmten Unbestimmten" 10. Die Gewichtung der Bruchkomponente von Brüchen sieht – wie gesehen – etwas anderes aus. Und diese Bruchstellenfolge kann sich auch – entgegen der Darstellung natürlicher Zahlen – auch ins Unendliche erstrecken. Und diese Gewichtung ist dann auch wesentlicher Bestandteil so einer Zahl(darstellung). Da wird dann nicht einfach nur auf die Zeichenfolge gesehen.

   Wir tun das auch nicht bei den natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen verstehen sich wesentlich auch von dem damit in natürlicher Weise verknüpften Anzahlbegriff her. Da käme niemand auf die Idee, einfach nur auf die Zeichenfolge zu sehen. Das mit der Gewichtung ist an diese Zahlen nicht einfach von außen herangetragen. Diese Gewichtung drängt sich durch den diesem System von Darstellung integrierten Zählwerkmechanismus förmlich auf. Gleichwohl ist diese Gewichtung für das ganze System von Zahldarstellung nicht konstitutiv. Dieses System gestaltet sich unabhängig von dieser Gewichtung bzw. der diese Gewichtung bestimmenden Lesart dieses Systems. Und nachdem Fragen der Zahldarstellung im mathematischen Formalismus keinen Platz haben, findet diese Gewichtung auch dort natürlich keine Beachtung. Und im übrigen müßte dieser Formalismus das auch dann nicht, wenn er sich für – dieses System von – Zahldarstellung interessieren würde. Dieses System genügt auch so in allem bereits diesem Formalismus. Es wird in diesem Formalismus nicht auf Zahlenwerte Bezug genommen. Demzufolge kommt es in diesem Formalismus auf diese Zahlenwerte auch nicht an. Man kann diesem ganzen Formalismus einfach auch auf der Ebene einfacher Zeichenfolgen, und handelte es sich dabei auch um unendliche Zeichenfolgen, bestreiten.

  

   IV. – Der Formalismus der Körperaxiome verlangt nicht auch die Konvergenz unendlicher Zeichenfolgen. Vergleichen kann man – wie gesagt – solche Zeichenfolgen immer auch miteinander. Und man kann weiter auch den Abstand einer Folge zu einer bestimmten anderen Folge abschätzen. Man kann sagen, ob dieser Abstand einen bestimmten – beliebig – vorgegebenen kleinen Wert  unterbietet oder nicht. Auch dazu braucht man keine definitiven Zahlenwerte. Das mit den Zahlenwerten ist ohnehin nur Interpretation. Das ist nichts, was materiell zur Darstellung einer Zahl noch hinzukommen würde. Die Zahl 13 ist die Zeichenfolge 1 3 unabhängig davon, ob wir in ihr auch die Zahl 13 oder einfach nur die Zeichenfolge 1 3 sehen. Gerechnet wird – nur – mit der 1 3, und das ist in unserem ganzen Umgang mit natürlichen Zahlen so. Die Gewichtung der einzelnen Positionen tritt dabei nicht in Erscheinung. Die Algorithmen für die einzelnen (Grund-)rechnungsarten nehmen auf diese Gewichtung auch nicht Bezug. Diese Gewichtung ist  – praktisch – für uns nur ein Gliederungsmittel, wenn es darum geht, eine natürliche Zahl entsprechend der von ihr bezeichneten Anzahl in Vielfache der verschiedene Potenzen der Basis der Darstellung – soweit solche Potenzen auch in Anspruch genommen sind – zu zerlegen. Diese Gewichtung hilft uns einfach, uns innerhalb der Reihenfolge der natürlichen Zahlen zu orientieren. Der Zahlenwert einer Zahl ist von der Position bestimmt, die sie in der Reihenfolge aller entsprechenden Zahlen einnimmt. Der Zahlenwert einer Zahl ist natürlich von der diese Zahl darstellenden Zeichenfolge bestimmt.

   Wir bedienen uns dazu einfach einer Charakterisierung des Verfahrens, so wie sie sich uns aus diesem Verfahren heraus – wie gesagt – auch mehr oder weniger aufdrängt. Wir lesen natürliche Zahlen – natürlich – in der Ordnung  von Einern, Zehnern, Hundertern, Tausendern, ... .Das muß man nicht tun, man kann es aber tun, und warum sollte man es auch nicht tun, erleichtert es uns den Umgang mit natürlichen Zahlen doch erheblich. Das mit dieser Gewichtung ist schließlich auch nichts, was von außen an die natürlichen Zahlen und ihre Darstellung herangetragen würde. Dem ist nicht so. Es ist das mit diesem Zahlenwert nur nicht auch eine eigene mathematische Kategorie. Das System der Darstellung natürlicher Zahlen nimmt auf Zahlenwerte keinen Bezug. Am nächsten kommt dieser Kategorie noch der Begriff des (Absolut-)betrages eine Zahl. Absolut heißt auch losgelöst. Allerdings geht es dabei nur darum, eventuelle negative Vorzeichen auszuschalten.

   Das ist alles. Es ist einfach so, daß der Begriff Zahlenwert ein ziemlich unbestimmter Begriff ist. Er ist mathematisch jedenfalls nicht definiert. Der Zahlenwert einer Zahl soll einfach die Größe einer Zahl bezeichnen. Letztlich steht dahinter einfach die Vorstellung, daß jede Zahl unabhängig von ihrer Einbettung in eine ganze – unendliche – Reihenfolge von Zahlen schon auch etwas ganz Eigenes für sich ist. Der Zahlenwert einer Zahl steht insofern schon für das Absolute einer Zahl. Es ist einfach so, daß in einer Serie das Ganze von den Teilen, wie umgekehrt auch die Teile vom Ganzen abhängt. Beides läßt sich – formal – nicht miteinander vereinbaren. Und das, was uns beides zusammen dennoch miteinander denken läßt, ist dann auch das, was die Existenz von Zahlen ausmacht. Das ist mit Existenz- und in Existenzfragen immer so. Und das ist es dann wohl auch, was Zahlen etwas Metaphysisches verleiht, etwas, was Philosophen zumal in Sachen Zahlbegründung nicht an einfache Lösungen denken läßt. Nun kann man in allen Dingen nach der metaphysischen Dimension fragen. Das ist dann allerdings wieder eine Frage für sich. Zunächst sollten Fragen, die einen materiellen Bezug haben, und das ist bei Zahlen allein aufgrund der für sie wesentlichen Darstellung immer auch so, auch auf einer materiellen Ebene abgehandelt werden. Und dann ist man eben auf den Mechanismus zur Darstellung der natürlichen Zahlen, so wie wir von diesen Zahlen immer auch Gebrauch machen, verwiesen.

   Auf das Zeichenmaterial kommt es dabei nicht an. Entscheidend ist allein das Verfahren, das aus diesem Material alle natürlichen Zahlen formt. Und in diesem Sinne "sind" die natürlichen Zahlen dieses Verfahrens. Sie bestehen aus dem System von Zeichenfolgen, so wie sie sich unabhängig von dem verwendeten (Zeichen-)material aus diesem Verfahren immer auch bilden. Dazu gehört, daß mit zumindest zwei Zeichen gearbeitet wird. Und daraus wiederum resultiert das ganz spezifische Verhalten dieses Systems von Zeichenfolgen im Unendlichen. Das ist dann ganz einzigartig auch. Das Besondere daran ist, daß sich dabei keine unendlichen Zeichenfolgen herausbilden, Zeichenfolgen, so wie sie Bestandteil unendlicher Brüche sind. Unendliche Zeichenfolgen bedürfen immer der ungeteilten Zuwendung eines ganzen Verfahrens. Bei der Rekonstruktion von  haben wir diese Situation so auch. Das ist kein Verfahren, das in expliziter Abhängigkeit von den natürlichen Zahlen stattfinden würde. Es wird dabei einfach Bruchstelle für Bruchstelle (re-)konstruiert. Da ist auch keine Abbildung im Spiel. Das ist ein rekursives Verfahren. Die einzelnen Bruchstellen so einer Entwicklung lassen sich nicht isoliert voneinander bestimmen. Man kann dabei nur sukzessive vorgehen. Rekursive Verfahren sind ohne – jede – explizite Abhängigkeit von den natürlichen Zahlen. Bei einer formalen Beschreibung so eines Verfahrens wird das allgemeine Folgenglied bzw. die allgemeine Bruchstelle natürlich mit  beschrieben, und dann mit  weitergezählt.

   Das läßt sich anders nicht einrichten, einfach weil das auch die allgemeinste Form ist, in der Reihenfolge angezeigt werden kann. Man darf das dann nur nicht auch so verstehen als ob auf diese Weise die ganze unendliche Bruchstellenfolge rekonstruiert werden könnte. Das kann sie nicht, einfach weil wir auf diese Weise, und d. h. in expliziter Abhängigkeit von den natürlichen Zahlen nie zu einer unendlichen Bruchstellenfolge gelangen könnten. Dazu sind der natürlichen Zahlen einfach zu wenige. Das mit der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen ist eine – trotz des notwendig auch in diesem Fall gegebenen Abschlusses – eine prozessuale Angelegenheit. Der natürliche Abschluß in Form und Gestalt einer unendlichen Zeichenfolge – wenn man sich sozusagen immer nur Zeichen an Zeichen aneinandergereiht denkt – bleibt dieser Unendlichkeit der natürlichen Zahlen verwehrt. Man kann einen unendlichen Bruch nicht Bruchstelle für Bruchstelle abdecken, auch wenn man damit ins Unendliche geht, vorausgesetzt man tut das im System der natürlichen Zahlen. In diesem System bleibt es auch im Unendlichen bei – nur – endlichen Zeichenfolgen. Nun sagt der allgemeine Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln etwa nicht, daß auf diese Weise irrationale Bruchentwicklungen auch erreicht werden könnten. Es wird dort nur gesagt, daß die rekursiv definierte Folge gegen so eine Quadratwurzel konvergiert. Insofern ist das schon in Ordnung so.

 

   V. – Grenzwerte haben es so an sich, daß sie nicht erreicht werden. Andererseits ist eine in Abhängigkeit von den natürlichen Zahlen konstruierte Folge schon auch geeignet, einem bestimmten Wert auch beliebig nahe zu kommen. Also das Potential haben solche Folgen dann – prinzipiell – schon. Nicht beantwortet ist damit die Frage nach der Existenz solcher Grenzwerte. Rekursive Verfahren gestalten sich in der Praxis schon unabhängig von expliziten Bezügen zu den natürlichen Zahlen. Man braucht zur Berechnung nachfolgender Folgenglieder nicht zu wissen, welches Folgenglied man gerade vor sich hat. In die Rekursionsvorschrift gehen – praktisch – keine natürlichen Zahlen ein. In der allgemeinen Rekursionsformel erscheint natürlich das allgemeine Folgenglied  und vorausgehende. Für die praktische Berechnung irgendwelcher Glieder hat das nichts zu bedeuten. Man muß diese Berechnung ohnehin immer von Anfang an aufnehmen. Und wenn man wissen will, wie weit man in der Entwicklung inzwischen ist, dann muß man – im übrigen genauso auch wie bei jeder anderen regulären Folge – die Folgenglieder alle durchzählen.

   Einem Folgenglied läßt sich im allgemeinen nicht dessen Position im Ganzen der Folge entnehmen. Welche Zahl an welcher Stelle in irgendwelchen Folgen steht bzw. – besser – stehen könnte, das sieht man einer Zahl nicht an. Rekursiv definierte Folgen sind in der Abfolge ihrer Elemente unabhängig von den natürlichen Zahlen. Demzufolge muß es in so einem Verfahren nicht auch zu reduzierten Unendlichkeiten nach Maßgabe der natürlichen Zahlen kommen. Unendliche Zeichenfolgen sollten von so einem Verfahren dann nicht nur grenzwertweise sondern auch effektiv erreicht werden (können). Natürlich bedarf es auch dazu eines Grenzüberganges; so eine Folge kann nicht Element für Element aufgebaut werden. Nach erfolgtem Grenzübergang aber sollte auch tatsächlich die unendliche Zeichenfolge zu stehen kommen. Der Grenzübergang selbst ist nicht einfach der Grenzübergang . Dann nämlich wäre die Frage die, ob es in gleicher Weise auch zu einer unendlichen Zeichenfolge reicht. An sich sollte es das, wenn denn schon im statischen Bereich die Alternative nur endlich oder unendlich heißen kann. Diese Frage würde sich dann stellen, wenn wir auf diese Weise einen Bruch Bruchstelle für Bruchstelle besetzen wollten.

   Das kommt in der Mathematik aber so nicht vor. Das wäre ein Verfahren, das in der Mathematik nicht praktiziert wird. So werden keine Brüche gebildet. Bei unendlichen Brüchen bräuchte man dafür zudem immer auch das Verfahren, das uns so einen Bruch dann auch Bruchstelle für Bruchstelle besetzt. Es bedürfte dazu einer Abbildung von  im Dezimalsystem. Eine solche Abbildung gibt es nicht. Man kann einer Funktion bzw. Abbildung allenfalls endlich viele Funktionswerte – fest – vorgeben. Es gibt Polynome, die für bestimmte Werte der unabhängigen Variablen auch bestimmte Polynomwerte haben. In unserem Fall kommt erschwerend hinzu, daß wir die Abbildungswerte alle auch nicht vorgeben können. Wir wissen um diese Abbildungswerte, und d.h. Bruchstellen nicht alle auch. Bei periodischen Brüchen wissen wir es.  Aber auch dann ist es unmöglich, eine Abbildungsvorschrift anzugeben, die nicht als perioden- und insoweit auch abschnittsweise konstante Funktion definiert ist, und doch Periode für Periode setzt.

   Die Frage, eine Abbildung anzugeben, die einen nicht-periodischen unendlichen Bruch setzt, stellte sich damit nicht. Die Frage, von welcher Unendlichkeit solche Brüche denn gegebenenfalls wären, kann man sich dennoch stellen. So eine Bruch sollte dann auch nur von der gleichen Unendlichkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen selbst sein können. Und diese Menge ist bekanntlich schon eine unendliche Menge. Gemeint ist damit aber auch nur, daß diese Menge ohne Ende, und d. h. ohne ein letztes Element ist. Für diese unendliche Menge gelten insofern die gleichen Kriterien wie für jede andere unendliche Menge auch, und d.h., es gilt auch für diese Menge das Kriterium der Abgeschlossenheit. Wir kommen an alle natürlichen Zahlen nur heran, wenn wir das Verfahren zu ihrer Produktion sich auch zur Gänze vollziehen lassen. Wir lassen das Verfahren dann einfach tun, was es vermag. Mit dieser Vorstellung haben wir – wie gesagt – keine Probleme. Das könnte man sich auch anders denken. Und wenn wir mit diesem Verfahren irgendeinen Zeitindex verbinden würden, dann müßten wir es uns auch anders denken.

   So aber – und offenbar gerade deswegen aber – stellen wir uns problemlos als abgeschlossen vor, was – von Natur aus sozusagen – ohne solchen Abschluß ist. Allerdings können wir mit diesem Abschluß nicht auch eine bestimmte natürliche Zahl oder ein sonstiges Konstrukt (verbinden!?). Bei unendlichen Zeichenfolgen ist das anders. Dort haben wir den Abschluß in Form und Gestalt einer solchen Zeichenfolge. Und diese Zeichenfolge ist dann zugleich auch Grenzwert des Verfahrens, das so einer Folge immer auch zugrunde liegt. Unendliche Brüche konvergieren gegen sich selbst. Sie sind sich selbst ihr – eigener – Grenzwert. In einem Verfahren wie dem Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln wird auch nicht zwischen verschiedenen Zahltypen unterschieden. Dieser Algorithmus gilt unterschiedslos für alle reellen Zahlen. Und auf Zahldarstellung wird dabei sowieso nicht gesehen. Inwieweit in diesem Verfahren im einzelnen auch nicht-periodisch unendliche Brüche involviert sind, hat für dieses Verfahren nichts zu bedeuten. Es werden darin ohnehin keine Brüche fortgeschrieben.