Expose

 

Abstract: Basis der Mathematik in sowohl materieller als auch operativer Hinsicht sind die natürlichen Zahlen. Von diesen Zahlen nimmt die Mathematik ihren Ausgang, und sie findet darin auch ihr Ende bzw. – besser – ihre Vollendung.  diese beiden Operationen markieren Anfang und Ende der Mathematik. Hinter  kann man nicht zurück, und über  kann man nicht hinaus. Einfacher als  geht es einerseits nicht, wie andererseits der Grenzübergang  an Unüberschaubarkeit nicht zu überbieten ist. Jedenfalls kann dieser Prozeß  analytisch nicht eingeholt werden. Gleichwohl bildet er die Grundlage des ganzen Infinitesimalkaküls, der der modernen Mathematik und mit ihr den experimentellen Wissenschaften ihr Gepräge gegeben hat. Der ganze Wissenschaftsbetrieb wurde dadurch auf eine ganz neue, bisher nicht mehr übertroffene, und auch in Zukunft nicht mehr zu übertreffende  Stufe gestellt. 

Die natürlichen Zahlen gelten in der Analysis als divergent, genauer: als bestimmt divergent gegen : . Im Zentrum der der Mathematik steht so die Operation  mit . Das ist alles, was die Mathematik zu dieser ebenso zentralen wie auch fundamentalen Operation zu sagen hat. Würde man sich an das Verfahren zur Darstellung bzw. Produktion der natürlichen Zahlen halten, und d. h. würde man in diesen Zahlen nicht einfach völlig unbestimmt und undifferenziert einfach nur eine nicht-abbrechende Folge von Zahlen verstehen, wäre die Situation eine ganz andere. Man kann sich von diesem Verfahren ins Unendliche tragen und sagen lassen, was  dort – genauer – geschieht. Insoweit lässt sich dieses Geschehen durchaus begleiten. Die Verfahrenselemente halten sich auch im Unendlichen unverändert durch. Man hat sich dazu  nicht einfach nur an dieses unbestimmte und nichtssagende Zeichen  zu halten. Mit diesem Zeichen soll auch nur gesagt sein, dass das mit den natürlichen Zahlen einfach kein Ende findet: Es gibt keine letzte, und es gibt keine größte natürlichen Zahl.

Die natürlichen Zahlen gelten in der Analysis als divergent, genauer: als bestimmt divergent gegen . Ganz anders sieht das dagegen aus, wenn man die natürlichen Zahlen in dem ihnen zugrunde liegenden Produktionsverfahren folgt. Das Geschehen im Unendlichen hat dann Grenzwertcharakter im – weiteren – mathematischen Sinne. Wir haben es dabei nicht einfach – nur – mit einem einzigen (Zahlen-)element als Grenzwert, sondern mit einer ganzen Grenzwertmenge zu tun haben. Diese Menge besteht aus dem Körper der reellen Zahlen. . Mit dieser Feststellung verbindet sich dann auch der einzig tragfähige Existenz- wie auch Eindeutigkeitsbeweis dieses Zahlkörpers. Zugleich wird damit die Abzählbarkeitsfrage dieser Zahlenmenge auf eine konstruktive, direkte Form der Beweisführung gestellt. Nicht zuletzt findet so auch die Unentschiedenheit der Kontinuumshypothese ihre Erklärung bzw. Auflösung. Es werden darin einfach die Grenzen unseres Verstandes offenbar, so wie sie sich in der Nicht-Analytizität des Grenzübergangsgeschehens  kundtun.