3.2.2 Prozessuale Unendlichkeit und finale Unendlichkeit

 

I. – Durch die Ergänzung Zeichen für Zeichen kann aus einer Zeichenfolge – prozessual – niemals eine final unendliche Zeichenfolge entstehen. Prozessual kommt es auf diese Weise, und d. h. wenn immer auch neu angesetzt wird, auch  nur zur Produktion einer nicht-endlichen Folge endlicher Zeichenfolgen. Daran ändert sich auch dann nichts, wenn alle diese Zeichen der fortgesetzten Ergänzung einer einzigen Zeichenfolge dienten. Es würde sich auf diese Weise keine unendliche Zeichenfolge einstellen können. Diese eine Zeichenfolge mag – und wird – dabei auch über jede nur mögliche – endliche – Anzahl von Zeichen hinauswachsen; zu einer unendlichen Anzahl von Zeichen würde sie dadurch gleichwohl nicht anwachsen können. So etwas läßt sich prozessual einfach nicht einrichten. Die Ergänzung um immer weitere Zeichen führt – prozessual, und d. h. Zeichen für Zeichen – über endliche Zeichenfolgen nicht hinaus. Prozessual läßt sich also nicht zugunsten der Unendlichkeit einer Folge argumentieren. Daß wir uns dessen sicher sein können, daß eine Zeichenfolge auch immer wieder eine Ergänzung durch weitere Zeichen erfährt, garantiert uns nicht notwendig auch schon, daß „am Ende“ der ganzen Entwicklung eine unendliche Zeichenfolge steht. Wenn es so ist, daß durch den Verfahrensablauf das prozessuale Element geradezu zementiert ist, dann ist vielmehr ausgeschlossen, daß das ganze Verfahren mit einer unendlichen Folgen abschließen könnte.

Das ist allerdings genau die Situation, wie wir ihr in unserem Verfahren zur systematischen Produktion kombinierter Zeichenfolgen begegnen. Zementiert ist in diesem Verfahren und durch dieses Verfahren das prozessuale Element einfach durch die kombinierte Entwicklung einer ganzen Vielzahl von Zeichenfolgen, Zeichenfolgen, die immer wieder auch eine Fortsetzung erfahren. Es gibt im Vollzug dieses ganzen Verfahrens keine Zeichenfolge, die in ihrer Fortentwicklung nach jedem einzelnen, zusätzlich gesetzten Zeichen nicht eine Unterbrechung zugunsten der Fortentwicklung anderer Zeichenfolgen erfahren würde. Damit aber steht fest, daß von diesem Verfahren auch nur endliche Zeichenfolgen produziert sein können. Es wird von diesem Verfahren einfach keine Zeichenfolge produziert, die nicht nach einem bestimmten Zeichen – an dann notwendig auch bestimmter endlicher Stelle – abgebrochen würde. Daß diese Zeichenfolge dann später – von Beginn an noch einmal aufgenommen wird, um sie durch ein weiteres Zeichen zu ergänzen, tut diesbezüglich auch dann nichts zur Sache, wenn sich das mit diesen Ergänzungen – nach entsprechenden Unterbrechungen – immer wieder, und d.h. unendlich oft fortsetzt. Diese Unterbrechungen schreiben einfach jede in diesem Verfahren – Verfahrensschritt für Verfahrensschritt – produzierte Folge in ihrer Endlichkeit fest, und verhindern zugleich, daß daraus jemals trotz aller später immer wiederkehrenden Erweiterungen jemals eine unendliche Folge werden könnte. Voraussetzung dazu wäre, daß in der unendlichen Fortentwicklung der einzelnen Folgen einmal nicht mehr unterbrochen würde.

Das allerdings läßt das Verfahren nicht zu. Diese Unterbrechungen bleiben auch im Unendlichen fester Bestandteile des Verfahrens. Dieses Verfahren läßt es nicht zu, daß sich eine Folge in ihrer – möglichen – Unendlichkeit „durchgehend“ entwickeln könnte. Wir können uns eine jede Folge – ob unendlich oder nicht-unendlich – natürlich nach jedem ihrer Zeichen unterbrochen denken, und in ihrer prozessualen Produktion Zeichen für Zeichen wird sie – so oder so – auch nach jedem Zeichen unterbrochen. In der Fortentwicklung einer Folge Zeichen für Zeichen ist mit jedem Zeichen eine endliche Folge abschließend gesetzt. Man kann so eine Folge dann fortführen oder auch nicht fortführen. Wird sie nicht fortgeführt, ist die ganze – mögliche – weitere Entwicklung abgebrochen; wird sie dagegen fortgeführt, ist diese Entwicklung mit dem zuletzt gesetzten Zeichen und dem dadurch herbeigeführten – vorläufigen – Abschluß nur unterbrochen. Natürlich muß eine – endliche – Folge, die als solche auch genau identifiziert sein will, in der Abfolge ihrer Zeichen auch genau festgestellt sein. Es muß die ganze Zeichenfolge dann einfach Zeichen für Zeichen realisiert oder auch nur programmiert sein. Es finden dann auch diese Unterbrechungen bzw. Fortsetzungen statt, von denen wir gerade festgestellt haben, daß sie notwendiger Bestandteil der Produktion bzw. Reproduktion einer jeden – endlichen – Folge sind. Es kommt diesen Unterbrechungen bzw. Fortsetzungen nur keinerlei mathematische Bedeutung zu. Gesehen wird immer nur auf die – endliche – Folge als Ganzes. Wie sich dabei der Produktionsablauf – zeitlich – gestaltet hat, ist dagegen völlig uninteressant. Entscheidend allein ist, was an Folge – aktuell – gesetzt ist.

Wie wir wissen, ist Mathematik eine rein statische Disziplin in dem Sinne, daß Zeit in ihr keinerlei Rolle spielt. Es gibt keine einzige mathematische Größe, in die Zeit als ein dieser Größe wesentliches Element Eingang fände oder die auch nur in irgendeiner Weise mit dem Ablauf der Zeit in Verbindung gebracht werden könnte. Also, das mit den Unterbrechungen bzw. Fortsetzungen ist nichts, was man einer – endlichen – Zeichenfolge irgendwie nachteilig anrechnen könnte. Zur Produktion einer Zeichenfolge kann einfach nur Zeichen für Zeichen gesetzt werden. Im allgemeinen konzentriert man sich dabei auch auf eine einzige Zeichenfolge. Ein kombiniertes Setzen verschiedener Zeichenfolgen wäre im übrigen auch wenig praktisch. Man konzentriert sich dann schon besser immer ganz auf die einzelne Zeichenfolge. Endliche Zeichenfolgen, so wie sie zur Darstellung natürlicher Zahlen Verwendung finden, werden im übrigen auch auf kein Gesetz der Serie zurückgeführt; sie werden in der konkreten Abfolge ihrer Zeichen realisiert und mit dem entsprechenden – natürlichen Zahlenwert identifiziert.

 

II. - Von natürlichen Zahlen kann im übrigen auch nicht anders denn in den sie darstellenden Zeichenfolgen gedacht werden. Natürliche Zahlen „existieren“ für uns dann nur in Form und Gestalt bestimmter Zeichenfolgen. Diese Zeichenfolgen lassen sich alle auch systematisch der Reihe nach entwickeln. Es handelt  sich dabei um ein kombiniertes Verfahren, das einmal angefangene Zeichenfolgen an späterer Stelle immer wieder fortführt. Jede einzelne Zeichenfolge wird dabei jeweils wieder von vorne aufgenommen, und insofern bzw. in diesem Umfang wird sie dann auch ohne jede Unterbrechung entwickelt. Unterbrochen sind alle diese Zeichenfolgen nur im Hinblick auf die an späterer Stelle immer wieder stattfindenden Fortsetzungen. Die einzelne, „programmgemäß“ gerade produzierte endliche Folge berührt das allerdings nicht. Diese Folge wird jeweils am Stück, und d.h. sie wird ohne systembedingte Unterbrechungen produziert. Das gilt ausnahmslos für alle in diesem System produzierten endlichen Folgen.

Jede in diesem System bzw. von diesem System produzierte endliche Folge wird in der ausschließlichen Zuwendung zu dieser Folge produziert, und d.h. sie wird ohne – eigentliche – Unterbrechungen produziert. Die Fortführung einer Folge durch ein zusätzliches Zeichen an einer späteren Stelle im System kann als Fortführung einer – zunächst – unterbrochenen Entwicklung dann nicht aufgefaßt werden, wenn mit jedem zusätzlichen Zeichen die ganze Folge immer wieder ganz von vorne aufgenommen wird. Läßt sich daraus aber auch ableiten, daß in diesem System auch unendliche Folgen produziert werden, bloß weil das Verfahren auch ein unendliches ist? Offensichtlich nicht. Man muß diesbezüglich deutlich unterscheiden zwischen den – verfahrenstechnisch völlig uninteressanten – Unterbrechungen unterscheiden, die einfach durch das bloße, und als solches auch unvermeidbare Setzen Zeichen für Zeichen (in Reihenfolge zu gesetzte bzw. zu setzende Zeichen lassen sich nun einmal nicht auf einmal setzen) gegeben sind, und den Unterbrechungen, die durch die "simultane" verfahrens- bzw. systembedingte Produktion verschiedenster endlicher Zeichenfolgen bedingt sind. Bezüglich unendlicher Folgen wirken sich die „Unterbrechungen“ im System bzw. durch das System  in ganz anderer Weise aus als bei endlichen Folgen. Endliche Folgen sind mit dem zuletzt gesetzten Zeichen –was wir bei endlichen Folgen definitionsgemäß immer auch haben – auch abschließend gesetzt. Unterbrechungen, die nicht zuvor schon stattgefunden haben, können dann auch nachher nicht mehr stattfinden. Bei unendlichen Zeichenfolgen haben wir – nicht weniger definitionsgemäß – dieses letzte gesetzte Zeichen nicht.

Wir haben im System allerdings die – unendliche – Fortführung jeder einmal angefangenen Zeichenfolge. Eine endliche Zeichenfolge braucht – wie gesagt – nicht zu interessieren, was sie als Folge an späterer Stelle noch an Fortsetzungen erfährt. Das gleiche gilt auch für alle diese Fortsetzungen, wenn dieselben die jeweils fortzusetzende Folge immer wieder ganz von vorne aufnehmen. Auch dann braucht nicht zu interessieren, welche Entwicklung die fortzusetzende Folge zuvor genommen hat. Es reicht das nur nicht auch zur Bildung unendlicher Zeichenfolgen aus. Eine endliche Folge immer wieder ganz von vorne aufzunehmen, nur um diese Folge um ein weiteres Zeichen zu ergänzen, auf diese Weise kann es zu einer unendlichen Folge auch dann nicht kommen, wenn solche Ergänzungen zwar immer wieder, aber eben immer wieder auch mit Unterbrechungen vollzogen werden. Diese Unterbrechungen führen einfach dazu, daß immer wieder nach einem letzten Zeichen Schluß ist, und das ist etwas, was die Produktion einer unendlichen Zeichenfolge zuverlässig verhindert.

Eine unendliche Zeichenfolge ist nicht nur auch von Anfang an aufzunehmen, sie muß auch – in einem Stück – zu Ende geführt werden. Es darf dann nicht einfach unterbrochen werden, um sich zwischenzeitlich mit der Fortsetzung anderer Folgen zu beschäftigen. Wenn sich das systembedingt nicht anders einrichten läßt, dann folgt daraus einfach, daß uns so ein System mit unendlichen Zeichenfolgen nicht dienen kann. In der Produktion unendlicher Folgen sind wir allgemein auch von so einem System bzw. Gesetz der Serie abhängig. Endliche Folgen lassen sich ganz nach Belieben zusammensetzen. Man braucht dafür weder ein System noch ein Gesetz der Serie. Das gilt auch noch für endliche Mengen von Endlichem. Eine endliche Menge von endlichen Zeichenfolgen läßt sich auch noch ganz willkürlich zusammenstellen bzw. auswählen. Eine unendliche Menge solcher Folgen kann dagegen nur aus einem Verfahren zur systematisch- -en Produktion solcher Folgen hervorgehen. Das gilt insbesondere natürlich auch für alle endlichen Zeichenfolgen, die sich aus endlich vielen vorgegebenen Zeichen – Wiederholungen inklusive – zusammensetzen lassen. Wenn der Anzahl der Zeichen dabei keine Grenze gesetzt ist, handelt es sich bei dieser Menge natürlich um eine – wenn schon nicht unendliche so doch –nicht-endliche Menge, die in ihrer Produktion nach einem gesetzmäßigen Verfahren verlangt.

Es ist im übrigen auch schon jede einzelne dieser Zeichenfolgen in ihren unendlich vielen möglichen Fortsetzungen für eine unbegrenzte Menge von Zeichenfolgen "gut", wenn wir uns die ganze Zeichenfolge vor jeden neuen Ergänzung immer wieder auch ganz von vorne aufgenommen denken. Mit jeder Ergänzung um ein weiteres Zeichen wird eine neue endliche Zeichenfolge gesetzt, auch wenn es sich dabei „nur“ um die Fortsetzung einer schon einmal gesetzten Zeichenfolge handelt. Diese unbegrenzt vielen endlichen Fortsetzungen sind uns durch die Systematik unseres Verfahrens auch garantiert; sie sind uns nur nicht auch in einer fortlaufenden, und d.h. geschlossenen Reihenfolge innerhalb der Reihenfolge aller von diesem System produzierten Zeichenfolgen garantiert. So enthält diese Reihenfolge beispielsweise nicht die – geschlossene – Teilfolge, 7, 71, 718, 7185 zur Produktion der Zeichenfolge 7185. Zwischen je zweien dieser Zeichenfolgen liegen in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen vielmehr eine ganze Menge anderer Zeichenfolgen. Die Unterbrechungen, die immer wieder stattfinden, um in der Fortentwicklung auch anderer Zeichenfolgen nachzuziehen zu können, sind dabei systembedingt. Ohne diese Unterbrechungen wäre die Produktion aller dieser Zeichenfolgen so nicht möglich. Für die einzelne Zeichenfolge ist das ganze System mit den darin inbegriffenen Unterbrechungen natürlich ohne jede Bedeutung.

Um irgendeine dieser Zeichenfolgen produzieren zu können, brauchen wir weder ein System noch ein Verfahren. Unterbrechungen finden dabei auch nur in der Weise statt, in der Unterbrechungen immer stattfinden, wenn eine Zeichenfolge Zeichen für Zeichen gesetzt wird. Die einzelne endliche Zeichenfolge ist mit anderen Worten in ihrer Existenz nicht davon abhängig, daß es ein Verfahren gibt, das alle diese Zeichenfolgen – in Reihenfolge – aus sich entläßt. Das gilt – wie gesagt – für die einzelne Zeichenfolge, und d.h. es gilt für jede Zeichenfolge. Es gilt deswegen aber nicht für alle Zeichenfolgen zugleich. Wenn wir alle diese Zeichenfolgen produziert haben wollen, dann können wir uns nur unseres Verfahrens bedienen. Dadurch, daß wir jede einzelne – endliche – Zeichenfolge unabhängig von unserem Verfahren produzieren können, folgt eben nicht, daß wir sie – unabhängig von diesem Verfahren – auch alle produzieren können. Das müssen wir dann schon diesem Verfahren überlassen.

Was nun unendliche Zeichenfolgen betrifft, so sind wir auf einen solches Verfahren bereits bei jeder einzelnen Folge angewiesen, so es denn dafür auch ein Verfahren gibt, und d.h. so es denn auch unendliche Zeichenfolgen gibt. Notwendige Voraussetzung für die Existenz solcher Folgen ist die Existenz eines Gesetzes der Serie, daß die Produktion so einer Folge völlig eigenständig und auch abschließend betreibt. Mit eigenständig ist auch gemeint, daß so ein Gesetz auch nur der Produktion einer einzigen unendlichen Zeichenfolge dient. Würde es das für mehrere Folgen zugleich tun wollen, könnte es das auch nur in einem kombinierten Verfahren tun, was notwendig dazu führen müßte, daß es für keine der Folgen zur Unendlichkeit „reicht“. Ein kombiniertes Verfahren ist – bezogen auf die einzelne Zeichenfolge – ein ständig unterbrochenes Verfahren. Damit aber kommt man in den einzelnen Zeichenfolgen über eine prozessuale Unendlichkeit nicht hinaus. Wir bekommen so in der einzelnen Zeichenfolge zwar eine unbegrenzte Folge von endlichen Fortsetzungen, nicht aber auch – die – eine Folge von unendlicher Fortsetzung.

Alle diese Fortsetzungen beschränken sich jeweils auf ein einziges Zeichen. Damit wird der prozessuale Charakter des Erweiterungsgeschehens einer jeden Folge festgeschrieben. Dagegen kommt dann auch der Gesetzescharakter des ganzen Verfahrens nicht an. Das ist offenbar der Preis dafür, daß wir von diesem Verfahren mit der (Fort-) Entwicklung aller nur möglichen Zeichenfolgen bedient werden. Der Preis ist der, daß keine dieser Zeichenfolgen im – unendlichen – Vollzug dieses Verfahrens auch zu einer unendlichen Zeichenfolge werden könnte. Heißt das aber auch, daß es keine solchen unendlichen Zeichenfolgen gibt? Also, wenn wir sie von unserem Verfahren produziert sein lassen wollen, dann gibt es sie nicht. Es müßte für jede einzelne dieser Zeichenfolgen dann schon ein eigenes Gesetz der Serie formuliert sein, ein Gesetz, das dann auch nur der Produktion dieser einen Zeichenfolge diente. Das wäre zumindest eine notwendige Voraussetzung – eine Bedingung der Möglichkeit – für die Existenz unendlicher Zeichenfolgen. Ist diese Bedingung aber auch zureichend für eine solche Existenz? Ist eine dadurch begründete Unendlichkeit auch final und nicht nur prozessual? Reichen – anders gefragt – anders gefragt die natürlichen Zahlen hin, um eine solche Unendlichkeit zu begründen?

 

III. - Ein Gesetz der Serie findet für gewöhnlich seinen Ausdruck in einer Abbildungsvorschrift, die die Menge der natürlichen Zahl zum Definitionsbereich hat. Eine solche Abbildung setzt somit voraus, daß die natürlichen Zahlen als Menge bereits begründet vorliegen. Allgemein ist es so, daß Abbildungen sowohl Definitions- als auch Bildbereich bereits als gegeben voraussetzen. Abbildungen können nicht – originär – der Begründung von Mengen dienen. Abbildungen müssen immer auch definiert sein, und das können sie nicht, wenn nicht zuvor auch erklärt ist, welches der Definitions- bzw. der Bildbereich einer Abbildung sein soll. Es muß gesagt sein, mit welchen Elementen die in der Abbildungsvorschrift beschriebenen Verknüpfungen ausgeführt sein sollen. Um diese Verknüpfungen dann auch so – mit den konkreten Elementen des Definitionsbereiches – ausführen zu können, benötigt man für das Ergebnis dieser Verknüpfungen eine entsprechende konkrete – operationsfreie – Darstellung.

Konkret ausgeführt werden können Abbildungen immer nur darstellungsbezogen. Dadurch, daß einer Abbildung – abstrakt – die Menge der natürlichen Zahlen zum Definitionsbereich gegeben ist, ist eine unendliche Folge noch nicht definiert, wenn nicht zugleich auch für eine Darstellung dieser Menge – genauso auch wie des Bildbereiches so einer Abbildung – gesorgt ist, die uns diese Abbildung für beliebige Elemente des Definitionsbereiches auch ausführen läßt. Man möchte dann natürlich schon auch haben, daß wir uns ganz nach Belieben natürliche Zahlen herausgreifen können, um diese den in der Abbildungsvorschrift vorgesehenen Verknüpfungen zu unterziehen. Dafür benötigen wir die konkrete Darstellung für die konkrete natürliche Zahl, und d.h. dafür benötigen wir ein System von Darstellung für die ganze Menge der natürlichen Zahlen. Dasselbe gilt für die Menge von Zahlen, aus der der Bildbereich der Abbildung entnommen ist. Nur im System für die jeweilige Menge als Ganzes kann auch an eine Darstellung der einzelnen Zahl gedacht werden.

Nun finden – wie wir wissen – Darstellungsfragen in der Mathematik so gut wie keine Beachtung. Von der konkreten einzelnen natürlichen Zahl wird in der Mathematik einfach in der diesen Zahlen „scheinbar“ auch ganz natürlichen Darstellung im Dezimalsystem Gebrauch gemacht, ohne daß dazu auch nur ein Wort verloren würde. Es wird dabei ganz so getan, als ob es dazu auch keine Alternative gäbe. Das trifft so auch zu, wenn man einmal davon absieht, daß es so ein System von Darstellung nicht nur zur Zahl 10 sondern zu jeder natürlichen Zahl ergibt. Alle diese Systeme sind – ihrer Substanz nach – untereinander auch gleichwertig. Sie gehen alle aus ein und demselben Verfahren hervor. Dieses Verfahren produziert in systematischer Weise aus einer vorgegebenen und in Reihenfolge geordneten endlichen Menge von Zeichen in Reihenfolge alle nur möglichen endlichen Zeichenfolgen, die sich aus diesen vorgegebenen Zeichen zusammensetzen lassen. Man kann die Realität „Menge der natürlichen Zahlen“ nicht von der Realität dieses Verfahrens trennen.  Das einzige System, das der Realität der Menge der natürlichen Zahlen in vollem Umfang gerecht wird, ist damit identisch mit dem System von Darstellung, so wie es unserem viel diskutierten Verfahren zugrunde liegt Das ist immer auch zu berücksichtigen, wenn wir uns die Menge der natürlichen Zahlen in ihrer ganzen Unendlichkeit vergegenwärtigen.

Die Unendlichkeit dieser Zahlen ist eine „bloß“ prozessuale Unendlichkeit, nachdem auch dieses Verfahren in den von ihm produzierten Zeichenfolgen – systembedingt – nur von einer prozessualen Unendlichkeit ist. Es werden von diesem Verfahren mit anderen Worten keine unendlichen Zeichenfolgen produziert. Das ist auch gut so, ist doch auf diese Weise dafür gesorgt, daß jede natürliche Zahl in der sie darstellenden Zeichenfolge – explizit – Zeichen für Zeichen auch dargestellt werden kann. Bei unendlichen Zeichenfolgen besteht diese Möglichkeit nicht. Wir können demzufolge auch nicht um den Zahlenwert einer solchen Folge wissen. Wir können also von irrationalen Zahlen – den Zahlen also die ihre Darstellung in solchen unendlichen Zeichenfolgen finden – nie sagen wie groß sie – genau – sind. Dazu bräuchte man – als notwendiger Voraussetzung – schon auch die endliche Darstellung für diese Zahlen, und d.h. eine Darstellung, die nur endlich viele Zeichen benötigt. Eine solche Darstellung gibt es aber nur für periodisch-unendliche Brüche in Form und Gestalt eines Quotienten zweier ganzer Zahlen bzw. in Form und Gestalt der endlichen Periode eines solchen Bruches einfach.

Was den Zahlenwert einer Zahl anbelangt ist die – operative – Quotientenschreibweise rationaler Zahlen aber nur bedingt informativ. Einer Zahl kann ihr – präziser – Zahlenwert generell nur über ihre b-al-Bruch-Darstellung entnommen werden. Wenn diese Darstellung notwendig eine unendliche ist, dann bedeutet das eben auch, daß sich uns dieser Zahlenwert eben auch nur von ungefähr erschließt.

Wir können eine irrationale Zahl ihrem Zahlenwert nach nicht anders bestimmen, als daß wir sie in einen b-al-Bruch entwickeln. Wenn – wie bei irrationalen Zahlen der Fall – diese Entwicklung eine nicht-periodische ist, dann werden wir aber auch nur mit einem – endlichen – Näherungswert dienen können. Von unendlichen Brüchen können immer nur endlich viele Stellen explizit bestimmt werden. Praktisch hat das keine Bedeutung, nachdem sich jede Bruchstelle an zunehmend höherer Position mit einem zunehmend kleineren Beitrag in den Zahlenwert eines Bruches einbringt. Effektiv interessant sind eigentlich immer nur die drei ersten Bruchstellen eines Bruches. So werden einem beispielsweise in der Dezimalbruchentwicklung von  die Dezimalen ab der vierten Position nicht eigentlich mehr etwas sagen können. Unser Informationsbedürfnis, was die Größe von  anbelangt, dürfte mit der Feststellung des Näherungswertes 1,414 hinreichend gedeckt sein. Allenfalls, wenn es darum geht festzustellen, ob eine Bruchentwicklung, die – sagen wir – einschließlich der ersten drei Dezimalen mit der Bruchentwicklung von  übereinstimmt, als Zahl größer oder kleiner  ist, wird man gleich positionierte Bruchstellen solange miteinander vergleichen müssen, solange nicht zwei solcher Bruchstellen voneinander abweichen. Das könnte sich natürlich auch hinziehen. Auf jeden Fall ist – wenn es sich um verschiedene Brüche handelt – sichergestellt, daß sie in zumindest einer Bruchstelle unterschiedlich besetzt sind.

Für einen Größenvergleich ist im übrigen auch die erste unterschiedlich besetzte Bruchstelle entscheidend. Grundsätzlich sind solche Bruchentwicklungen der Größe der dadurch dargestellten Zahl nach miteinander vergleichbar. Die Menge aller dieser Brüche ist eine linear geordnete Menge. Die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen sind insoweit auch durch das System der Darstellung dieser Menge begründet. Wir können nur nicht Zahlen, die durch einen unendlichen, nicht-periodischen Bruch dargestellt werden, auch mit einem bestimmten – endlichen – Zahlenwert identifizieren. Der Zahlenwert so einer Zahl ist mit seiner Bruchentwicklung identisch; diese Bruchentwicklung erschließt sich uns bei solchen Brüchen aber immer nur zu endlichen Teilen. Der Zahlenwert irrationaler Zahlen kann immer nur näherungsweise bestimmt werden. Was es ansonsten an alternativen Darstellungen gibt, ist – was den Zahlenwert einer irrationalen Zahl anbelangt – dagegen wenig informativ.

 Weder die Definition als Grenzwert einer Folge bzw. Reihe, noch die einfache operative zeichenhafte Darstellung beispielsweise durch ein Wurzelzeichen ist geeignet, uns etwas zum Zahlenwert der dadurch definierten Zahl zu sagen. Da müßte dann schon in entsprechende Berechnungen eingetreten werden, Berechnungen, die einzig und allein dem Ziel dienen, eine solche Definition in eine Bruchentwicklung umzusetzen. Bei unendlichen Brüchen bleibt so etwas – wie gesagt – notwendig immer Fragment, wobei der Nachweis dafür, daß die Bruchentwicklung notwendig eine nicht-periodisch unendliche ist, natürlich nicht der – expliziten – Bruchentwicklung entnommen werden kann. Die nicht-periodische Unendlichkeit eines Bruches läßt sich nicht durch vollständige Entwicklung desselben nachweisen. Die Irrationalität einer Zahl läßt sich damit nie einfach nur berechnen. Irrational ist eine Zahl dann, wenn sie sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen läßt. So etwas läßt sich nur indirekt beweisen, indem man die Annahme, die betreffende Zahl verfügte über so eine Darstellung, zu einem Widerspruch führt. Wie so etwas geht läßt sich dem Nachweis der Irrationalität von  entnehmen. Ein Widerspruch zur gegenteiligen Annahme kann in diesem Fall einfach daraus abgeleitet werden, daß das Quadrat einer geraden Zahl gerade, das Quadrat einer ungeraden Zahl aber ungerade ist. Diese Beweisidee läßt sich natürlich nicht einfach auf andere Fälle übertragen. Man hat sich diesbezüglich in jedem Fall etwas Eigenes, etwas Besonderes einfallen zu lassen, und das macht das alles auch so schwierig bzw. so wenig überschaubar.