Kapitel 2

 

Die Produktion unendlicher Zeichenfolgen

 

 

3.2.1 Unendliches und Unendlich-Endliches

 

I. - Das Vollständigkeitsaxiom garantiert uns die Konvergenz von b-al-Brüchen. Jeder unendliche – auch jeder nicht-periodisch unendliche – b-al-Bruch stellt damit genau eine reelle Zahl dar. Damit wird von der Menge der reellen Zahlen auch vollständig ausgeschöpft, was jedes b-al-Bruchsystem an Möglichkeiten der Darstellung anzubieten hat. Der Name Vollständigkeitsaxiom ist nicht zuletzt auch von daher gut begründet. Von jedem solchen b-al-Bruchsystem wird die Menge der reellen Zahlen auch vollständig dargestellt. Jeder unendliche, nicht-periodische Bruch ist als eine unendliche Reihe auch mit seinem Grenzwert identisch. Jeder solche Bruch konvergiert gegen seinen eigenen Grenzwert. Das ist deswegen so möglich, weil wir es bei so einem unendlichen Bruch – formal –  mit einer einzigen Zeichenfolge zu tun haben, die in der Entwicklung so eines Bruches immer wieder eine Ergänzung erfährt. Nur deswegen kann der Grenzwert so eines Bruches in diesen Bruch selbst auch integriert sein. Das unendliche Verfahren zur Produktion dieses einen unendlichen Bruches ist ein unendliches Verfahren zur Produktion dieser einen unendlichen Zeichenfolge allein. Damit kann so eine Folge auch nur sich selbst als Grenzwert haben, Grenzwert so einer Folge ist die – abgeschlossene – Folge als Ganzes. In ihrer ganzen Unendlichkeit kann eine unendliche Folge nur nach einem Gesetz der Serie produziert sein, so wie es für gewöhnliche in der einer Folge zugrundeliegenden Abbildungsvorschrift – in Abhängigkeit von den natürlichen Zahlen als Definitionsbereich so einer Abbildung – formuliert ist. Man kann in jedem unendlichen b-al-Bruch – was dessen Bruchkomponente anbelangt – aber auch nichts anderes sehen als eine „unendliche“ natürliche Zahl. Damit wäre man, was die systematische Produktion unendlicher b-al-Brüche anbelangt auf das Verfahren bzw. den Mechanismus zur systematischen Produktion der die unendliche Menge der natürlichen Zahlen darstellenden Reihenfolge von Zeichenfolgen verwiesen. Wo das Verfahren zur Produktion von Zeichenfolgen ein unendliches ist, sollte es auch in den produzierten Zeichenfolgen nicht bei endlichen Zeichenfolgen bleiben können. Man wird andrerseits aber auch sehen müssen, das die Produktion von Unendlichem auch die ungeteilte Zuwendung eines ganzen unendlichen Verfahrens erfordert.

 Wenn das Gesetz der Serie – wie bei unserem Mechanismus – so ist, daß es der Entwicklung der verschiedensten Zeichenfolgen gleichzeitig zu dienen hat, dann können wir nicht erwarten, daß dabei auch nur eine einzige Folge ins Unendliche fortgeführt und dort auch abgeschlossen werden könnte. Es können im Vollzug dieses Verfahrens aus diesem Verfahren solange keine unendlichen Zeichenfolgen hervorgehen, solange die – angestrebte – Produktion einer einzigen solchen Folge in die – simultane – Produktion anderer solcher Folgen eingebunden bleibt. Solange ein Verfahren sich der Fortentwicklung verschiedener Zeichenfolgen verpflichtet weiß, bleibt es auch fest der Produktion endlicher Zeichenfolgen verbunden. Das haben wir auch bei unserem Mechanismus zur Produktion der die natürlichen Zahlen darstellenden Zeichenfolgen so. Solange im Vollzug dieses Mechanismus in der Produktion von Zeichenfolgen immer noch zwischen einzelnen Folgen gewechselt wird, befindet man sich immer noch in der Produktion endlicher Zeichenfolgen, und d.h. natürlicher Zahlen. So wie diese Produktion angelegt ist, bricht diese auch nie ab. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine – nach oben im Sinne der durch ihre Reihenfolge begründeten linearen Ordnung dieser Zahlen – nichtbeschränkte Menge.

Das läßt sich so einfach dem Mechanismus zur Darstellung dieser Zahlen entnehmen. Daß in diesem Mechanismus zur Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen ständig die Zeichenfolgen gewechselt werden, das hat einfach auch zur Folge, daß es im Vollzug dieses Verfahrens auch nicht zur Produktion unendlicher Zeichenfolgen kommen kann. Dazu dürfte die Produktion so einer Folge nicht einfach immer wieder von der Produktion anderer Folgen unterbrochen werden. Zur Produktion unendlicher Folgen im Vollzug dieses Verfahrens könnte es nur dann kommen, wenn sich die Produktion einer Folge vollkommen von der Produktion anderer Folgen lösen könnte. Dann aber könnte die Produktion so einer Folge nicht weiter mehr Produktion dieses einen Mechanismus sein. Es müßte dann schon nach einem ganz anderen Mechanismus gesucht werden, der uns evtl. mit der Produktion auch unendlicher Zeichenfolgen dienen kann.

So wie unser Mechanismus konstruiert ist, kann er das nicht. Voraussetzung dafür wäre, daß die Produktion einer solchen Folge nicht mehr von der Produktion bzw. Fortentwicklung einer anderen Folge unterbrochen wäre. Solange das der Fall ist, befindet man sich in der Produktion von ausschließlich endlichen Folgen. Wenn man sich von einer Folge wieder abzuwenden hat, nachdem diese gerade die programmgemäße Behandlung erfahren hat, um im Programm mit einer anderen Folge zu verfahren, dann kommt man auf diesem Wege über endliche Zeichenfolgen nicht hinaus. Daran ändert auch nichts, daß jede einmal behandelte Folge im Verlauf des weiteren Verfahrens erneut aufgegriffen, von Anfang an wieder aufgenommen und entsprechend ergänzt bzw. verändert wird. Wenn in der Behandlung einer Folge immer wieder abgebrochen wird, um anderen Folgen die programmgemäße Behandlung zuteil werden zu lassen, dann kann keine dieser Folgen jemals zu einer unendlichen Folge werden.

 

Es wird in diesem Verfahren einfach keine Folge produziert, die in ihrer ganzen Unendlichkeit einfach „durchgezogen“ würde. Es dürfte dann einfach nicht immer wieder abgebrochen werden, um an anderer Stelle des Verfahrens wieder ganz von vorne anzufangen. Das führt nicht weiter, wenn diese Neuaufnahme auch wieder nur dazu genutzt wird, der bereits gegebenen Folge ein weiteres Zeichen hinzuzufügen bzw. sie in ihren bereits gesetzten Zeichen zu verändern. Zu einer unendlichen Zeichenfolge kann es nur dann kommen, wenn es einer solchen Folge auch gelingt, sich von der Produktion anderer Folgen abzukoppeln. Das allerdings läßt das ganze Verfahren nicht zu. Wie eine Zeichenfolge – immer wieder aufs neue – fortzuführen ist, das sagt uns das Verfahren nur in Verbindung mit entsprechenden Informationen, was die Fortführung aller anderen Folgen dieses Verfahrens betrifft. Wir können diesem Verfahren kein Gesetz der Serie zur – unendlichen – Fortentwicklung einzelner Folgen des ganzen Systems solcher Folgen entnehmen.

Das ist genau das Problem, das wir bei der Definition irrationaler Zahlen haben. Das Problem besteht darin, daß solche Zahlen nicht explizit als unendliche Folgen ihrer Bruchstellen definiert werden können. Irrationale Zahlen lassen sich nur implizite-operativ definieren. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten. Man kann irrationale Zahlen als Grenzwert konvergenter Folgen bzw. Reihen „ansetzen“. Man kann solche Zahlen aber auch in einen endlichen operativen mathematischen Term verpacken. Es gibt zwei Operationen, die für die Produktion irrationaler Zahlen „gut“ sind: Das Radizieren und das Logarithmieren. Mathematische Ausdrücke, die über solche Operationen formuliert sind, bieten eine gewisse Aussicht dafür, daß dadurch möglicherweise auch eine irrationale Zahl definiert ist. Genauso wie bei der alternativen Definition als Grenzwert von Folgen bzw. Reihen ist die Irrationalität der dadurch definierten Zahl immer eigens auch nachzuweisen, und dieser Nachweis kann mitunter ziemlich komplex sein. Es gibt keine Kriterien, die uns allein aufgrund der Konstruktion so eines operativen Ausdruckes bzw. so einer Folge bzw. Reihe über diese Frage entscheiden ließe.

 

II. - Unendliche Folgen reeller Zahlen sind definiert als Abbildungen von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Um unendliche Folgen definieren zu können, muß also insbesondere die Menge der natürlichen Zahlen bereits als definiert bzw. konstruiert vorausgesetzt werden. Bei der Konstruktion dieser unendlichen Folge der natürlichen Zahlen können uns natürlich nicht auch wieder die natürlichen Zahlen behilflich sein. Die Menge der natürlichen Zahlen läßt sich nicht selbst auch als Abbildung mit den natürlichen Zahlen als Definitionsbereich – und eben diesen Zahlen auch als Bildbereich – definieren bzw. konstruieren. Was diese natürlichen Zahlen anbelangt, bedarf es eines eigenen – aber auch eines besonderen – Verfahrens. Dieses Verfahren ist – wie wir wissen – beschrieben bzw. vollzogen durch unseren Mechanismus zur Produktion der die Menge der natürlichen Zahlen darstellenden Zeichenfolgen. Alles andere, was in der Mathematik dafür noch an – alternativer – Begründung bzw. Modellbildung dieser Zahlen angeboten wird, wird dagegen der Realität bzw. Identität dieser Zahlen nur ganz eingeschränkt gerecht. Es wird dieser Mechanismus nur nicht seinerseits auch der Darstellung irrationaler Zahlen in Form und Gestalt unendlicher Zeichenfolgen gerecht. Es gehen aus diesem Mechanismus keine unendliche Zeichenfolgen hervor. Dieser Mechanismus dient einzig und allein der Produktion unendlich vieler unbegrenzt endlicher Zeichenfolgen.

Ein Gesetz der Serie kann der Produktion von Unendlichem nicht auch noch dann dienen, wenn dieses Gesetz der Serie ein Gesetz der Serie von Unendlichem nur dann sein kann, wenn es nicht nur der Produktion einer Unendlichkeit, sondern einer – unendlichen – Vielzahl von Unendlichkeiten dient. Das steht natürlich fest: Die von diesem Mechanismus möglicherweise produzierten Unendlichkeiten könnten sich nur gemeinsam einstellen. Es kann nicht sein, daß eine Zeichenfolge bereits in eine Unendlichkeit übergeführt wäre, während eine andere sich noch auf dem Weg dorthin befände. Es ist gerade die gemeinsame Produktion aller dieser sich anbahnenden Unendlichkeiten, die es verhindert, daß diese auch ihr gemeinsames Ziel erreichen.

Die Situation ist einfach die, daß durch den ständigen Wechsel von Folge zu Folge in der Fortentwicklung der Gesamtheit aller von diesem Mechanismus produzierten Folgen die Endlichkeit aller dieser Folgen systembedingt ist. Solange die Produktion aller dieser Folgen aneinander gekoppelt ist, kann es zu keinen unendlichen Folgen kommen. Die einzelnen Folgen attestieren sich dann vielmehr gegenseitig immer wieder ihre Endlichkeit. Das, was bei jedem anderen Gesetz der Serie, das sich nur einer Folge verpflichtet fühlt, problemlos möglich ist, die dadurch definierte unendliche Folge als immer auch schon zur Gänze produzierte Folge verstehen zu können, bei diesem Verfahren der gekoppelten Fortentwicklung verschiedenster Zeichenfolgen aus ein und demselben endlichen Zeichenmaterial versagt so etwas notwendig. Dazu müßte einfach die Produktion der einzelnen Zeichenfolgen entkoppelt werden, und damit kann uns der Mechanismus, dem die Produktion aller dieser Folgen folgt, natürlicherweise nicht dienen. Dieser Mechanismus kann sich nicht selbst aufheben, um etwas zu ermöglichen, was dessen regulärer Vollzug einfach nicht zuläßt. Andererseits ist in diesem – gekoppelten – Mechanismus die einzige Möglichkeit zu sehen, die sich denken läßt, um systematisch zu allen auch unendlichen Zeichenfolgen zu finden. Ein solches Verfahren kann nicht anders angelegt sein, als so, wie dieser Mechanismus organisiert ist. Nur in der Fortführung des Systems, das uns mit allen unendlich vielen endlichen Zeichenfolgen bedient, können sich uns auch alle unendlichen Zeichenfolgen erschließen. Wenn uns von diesem System – systembedingt – gleichwohl alle diese unendlichen Zeichenfolgen vorenthalten bleiben, dann dürfen wir daraus schließen, daß es kein System für die Produktion bzw. Konstruktion dieser unendlichen Menge unendlicher Zeichenfolgen gibt.

Natürlich kann diese Menge unendlicher Zeichenfolgen dann auch keine abzählbare Menge sein. Es hat diese Nicht-Abzählbarkeit einfach mit der Entkoppelung zu tun hat, die im Vollzug des allgemeinen Mechanismus zur Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen stattzufinden hätte, wenn wir von diesem Mechanismus auch mit unendlichen Zeichenfolgen, so wie wir sie zur Darstellung irrationaler Zahlen benötigen, bedient sein wollen. Nachdem diese Entkoppelung systembedingt nicht stattfinden kann, können aus diesem Mechanismus auch keine unendlichen Zeichenfolgen hervorgehen. Solange das ganze Verfahren ein gekoppeltes Verfahren ist, ist es auch ein an Reihenfolge gekoppeltes Verfahren. Alles, was von diesem Verfahren an unendlich vielen endlichen Zeichenfolgen produziert wird, wird dann in einer genau bestimmten Reihenfolge dieser Folgen produziert bzw. ist – per Gesetz der Serie – immer schon in Reihenfolge produziert.

 

III. - Der Übergang ins Unendliche kann von einem Gesetz der Serie problemlos vollzogen werden, weil er mit der Definition bzw. Konstruktion des Gesetzes immer schon als vollzogen gedacht werden kann. Was die Produktion von Zeichenfolgen durch unseren Mechanismus anbelangt, beinhaltet dieser Übergang ins Unendliche aber nicht auch die Produktion unendlicher Zeichenfolgen. Die Tatsache, daß das Verfahren zur Darstellung bzw. Produktion aller natürlichen Zahlen ein in dem beschriebenen Sinne gekoppeltes Verfahren zur unbegrenzten Fortentwicklung unendlich vieler endlicher Zeichenfolgen ist, wiegt offensichtlich schwerer als die Tatsache, daß dieses Verfahren einem Gesetz der Serie folgt. Es ist einfach so, daß diese Koppelung im Verfahrensablauf sich auch ins Unendliche hinein fortsetzt. Diese Koppelung steht nicht zur Disposition eines Überganges ins Unendliche. Durch diese Koppelung im Verfahrensablauf ist festgeschrieben, daß jede aus diesem Verfahren hervorgehende Zeichenfolge auch immer wieder eine Ergänzung Zeichen für Zeichen erfährt. Das allerdings genügt nicht, damit aus dem Verfahren auch unendliche Zeichenfolgen hervorgehen könnten. Dazu müßte man sich die unendlich vielen Zeichen einer solcher Zeichenfolge schon auf einmal gesetzt denken können, was – wie wir wissen – voraussetzt, daß diese Zeichen in der Folge einem Gesetz der Serie folgen. Dieses Gesetz der Serie muß dann aber ein Gesetz der Serie dieser Zeichenfolge allein sein. Sobald so ein Gesetz der Serie für die abwechselnde, kombinierte Fortentwicklung verschiedener Zeichenfolgen zuständig ist, kann sich daraus auch im Unendlichen kein eigenes Gesetz der Serie für die einzelne – nicht-begrenzte – Zeichenfolge ergeben.

 Das Gesetz der Serie ist – und bleibt – für alle diese Zeichenfolgen ein und dasselbe. Dem Kombinationsmechanismus ihrer – gemeinsamen – Produktion bleiben alle diese Folgen dann fest verbunden. Fest verbunden bleiben diese Folgen damit auch einer Ergänzung Zeichen für Zeichen. Das ist einfach bedingt durch die gemeinsame Produktion, die es nicht zuläßt, daß sich der Entwicklung einzelner Folgen ausschließlich gewidmet werden könnte. In diesem Fall könnten die einzelnen Folgen auch nicht weiter nach ein und demselben Gesetz der Serie entwickelt sein. Verschiedene – unendliche – Folgen folgen notwendig verschiedenen Gesetzen der Serie. Dagegen ist es problemlos möglich, unendlich viele Zeichenfolgen unbegrenzter Länge gemeinsam, und d.h. nur einem einzigen Gesetz der Serie sowie auch einer einzigen Reihenfolge folgend zu entwickeln. Es ist dieses kombinierte Verfahren, das uns sehr genau zwischen Folgen, die immer wieder eine Ergänzung erfahren, auf der einen Seite, und Folgen, die solche Ergänzungen nicht mehr nötig haben, weil sie bereits vollständig ergänzt sind, auf der anderen Seite unterscheiden läßt. Alles, was wir uns von einem Gesetz der Serie, das sich der Produktion unendlich vieler Zeichenfolgen verpflichtet weiß, schon immer gesetzt denken können, das sind auch nur Zeichenfolgen, die in der Anzahl ihrer Elemente nach oben nicht beschränkt sind. Solche Folgen können aber nicht einfach auch mit unendlichen Folgen identifiziert werden. Dazu sind solche Folgen einfach nicht abgeschlossen genug.

Wir hatten diese Diskussion auch schon im Zusammenhang mit der Zeit. Dadurch, daß eines immer nach dem anderen folgt, ist eine Unendlichkeit auch dann noch nicht begründet, wenn sichergestellt ist, daß auch zuverlässig immer eines nach dem anderen folgt. Unendlichkeit ist immer auch finale, und nie einfach nur prozessuale Unendlichkeit. Zur Unendlichkeit gehört einfach auch eine Form von Abschluß. Unendlichkeit kann nicht einfach immer nur werden, sie muß als Unendlichkeit immer auch schon sein. Unendlichkeit „ist“ dadurch, daß der ganze Prozeß ihres Werdens in einem Gesetz der Serie immer auch schon vorweggenommen ist. Offensichtlich ist dafür aber nicht jedes Gesetz der Serie in gleicher Weise gut. Ein Gesetz der Serie kann mit diesem abschließenden Element bzw. Moment nur dann dienen, wenn damit auch nur einer einzigen Unendlichkeit gedient ist. Das aber ist bei unserem Mechanismus der gekoppelten Produktion bzw. Fortführung von Zeichenfolgen nicht der Fall. Es ist genau diese Koppelung, die uns in diesem Fall versagt, womit uns ansonsten bei jedem Gesetz der Serie gedient ist: die abgeschlossene Unendlichkeit nämlich. Stattdessen bekommen wir nur eine prozessuale Unendlichkeit angeboten. Eine Folge müßte sich schon aus dieser Ankoppelung an andere Folgen lösen können, damit sie sich auch zu einer nicht nur prozessualen, sondern auch finalen Unendlichkeit entwickeln kann.

Davon können wir natürlich nicht ausgehen. Wir können von einem mechanisierten und systematisierten Verfahren nicht erwarten, daß es sich selber aufhebt. Davon ist auch im – prozessualen – Unendlichen dieses Mechanismus nicht auszugehen. Es wäre einfach illegitim, sich in diesem prozessualen Unendlichen jede Folge auch zu einem finalen Unendlichen abgeschlossen zu denken. So etwas könnte dieser Mechanismus einfach nicht leisten. Das Element der gekoppelten Produktion bzw. Fortentwicklung verschiedenster Zeichenfolgen ist diesem Mechanismus untrennbar verbunden, und solange dieses Element besteht, besteht auch keine Möglichkeit, daß es zu einer finalen Unendlichkeit kommen könnte. Man darf in diesen verschiedenen Unendlichkeiten auch nicht einfach nur einen Unterschied in der Terminologie sehen. Man könnte sich natürlich auch auf den Standpunkt stellen, daß man sagt, für die Unendlichkeit einer Folge wäre es ohne Belang, ob man diese Folge nun auch noch in der Form und Gestalt eines Abschlusses sieht oder nicht, wenn sichergestellt ist, daß diese Erweiterung mit immer noch weiteren Zeichen auch immer stattfindet, und das ist zweifelsohne durch das Gesetz der Serie unseres Mechanismus auch sichergestellt.

Wir sind, was die prozessuale Unendlichkeit unseres Mechanismus betrifft, sicherlich auch in einer weit besseren Situation, als wir diesbezüglich mit der prozessualen Unendlichkeit der Zeit sind, so denn die Zeit auch eine prozessual unendliche ist. Nicht weniger als für jedes andere mathematische Gesetz der Serie gilt auch für das Gesetz der Serie unseres Mechanismus, das von diesem Gesetz schon immer vollzogen ist, was von diesem Gesetz auch vollzogen werden kann. Das bedeutet, daß die Zeichenfolgen dieses Mechanismus in ihrer ganzen prozessualen Unendlichkeit schon immer als zur Gänze produziert vorausgesetzt werden können. Hat das aber auch zu bedeuten, daß von dieser prozessualen Unendlichkeit auch final unendliche Zeichenfolgen produziert sind, und d.h. Zeichenfolgen, die auch abschließend produziert sind? Das ist die Frage.