3.1.2 Die Konvergenz von unendlichen nicht-periodischen b-al-Brüchen

 

I. –Unendliche, nicht-periodische b-al-Brüche sind aufgrund der Gewichtung, die jede Bruchstelle erfährt, von Natur aus sozusagen auf Konvergenz „angelegt“. Nur deswegen auch läßt sich die Konvergenz dieser Brüche per Axiom „sicherstellen“. Ein Problem könnte es allerdings sein, zu solchen Brüchen auch zu finden. Unendliche Brüche lassen sich nicht einfach Bruchstelle für Bruchstelle setzen; es bedarf dazu vielmehr eines Gesetzes der Serie, das für den ganzen Bruch festlegt, wie die – unendliche – Abfolge der einzelnen Zeichen in der Zeichenfolge so eines Bruches ist. Allerdings werden wir nicht erwarten können, daß es eine Abbildung mit den natürlichen Zahlen als Definitionsbereich geben könnte, die Bruchstelle für Bruchstelle festsetzt. Die uns bekannten Verfahren zur Berechnung bekannter irrationaler Zahlen sind jedenfalls allesamt anders organisiert. Man kann auch nicht sagen, daß es besondere Verfahren zur Berechnung von irrationalen Zahlen gäbe. Es gibt bestimmte Verfahren, die in ihrer Allgemeinheit dann natürlich auch die „Berechnung“ von Irrationalzahlen einschließen.

 So dient der allgemeine Algorithmus zur Berechnung der Quadratwurzel[76]

auch der Berechnung der irrationalen Quadratwurzel aus 2. Daß diese Quadratwurzel irrational ist, das würde man aus so einem Verfahren allerdings nicht ableiten können. Es können auch von einer Rechenmaschine in endlichen Zeiten nur endlich viele Stellen berechnet werden. Damit aber läßt sich weder für noch gegen die mögliche Irrationalität der zu berechnenden Zahl argumentieren. So ein allgemeines Verfahren ist also nicht geeignet, die Irrationalität bestimmter Zahlen nachzuweisen. Unabhängig von einem solchen Nachweis wird jedes solche allgemeine Verfahren jeder dadurch berechenbaren Zahl aber zu einem Gesetz der Serie. Wie die Bruchstellen eines unendlichen nicht-periodischen b-al-Bruches beispielsweise besetzt sind, das ist in diesem Gesetz der Serie für alle diese Bruchstellen vorweggenommen. Wenn eine Quadratwurzel als irrational nachgewiesen ist, dann kann ein allgemeines Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel – was diese Zahl betrifft – nur in einem unendlichen, nicht-periodischen b-al-Bruch „enden“. Alles andere würde diese Zahl als rational ausweisen.

Als Cauchy-Folge konvergiert jeder solche Bruch auch in . Es konvergiert so ein Bruch gewissermaßen gegen seine eigene Darstellung. Die reelle Zahl, gegen die so ein Bruch konvergiert, kann einzig und allein mit diesem Bruch selbst identifiziert werden. Aber auch das ist wieder nur Theorie. In der Praxis findet keine einzige irrationale Zahl auf diese Weise ihre Darstellung. Man kann einen unendlichen Bruch auch nicht gut Bruchstelle für Bruchstelle aufzählen. Daß eine Zahl irrational ist, dieser Nachweis kann auch keiner regulären, also zahlenwertigen Darstellung einer solchen Zahl selbst entnommen werden, einfach weil wir diese Darstellung in keinem Fall haben. Ein unendlicher, nicht-periodischer Bruch läßt sich nicht zur Darstellung bringen. Es gibt dafür auch keine abkürzende Schreibweise, so wie wir sie bei periodisch-unendlichen Brüchen haben. Irrationalzahlen gibt es nur in einer operativen Darstellung, als Wurzel, Logarithmus, Reihe und dgl.

Die bekannte Eulersche Zahl e beispielsweise ist definiert als . Die Folge  ist eine konvergente Folge. Diese Folge ist monoton, und sie ist beschränkt, also ist sie auch konvergent. Einmal mehr ist es auch bei diesem Konvergenzkriteriun so, daß man über den Grenzwert nichts zu wissen braucht. Man weiß dann natürlich auch nicht, wie dieser Grenzwert „aussieht“. Das ist natürlich auch genauso bei der alternativen „Darstellung“ der Zahl e als unendliche Reihe  . Man kann aufgrund so einer Darstellung die Zahl e mit jeder beliebigen Genauigkeit berechnen, wobei sich diese Genauigkeit nach der Anzahl der berechneten Bruchstellen bemißt. Die Zahl e berechnen heißt sie in einen b-al-Bruch zu entwickeln suchen. Nur so auch können wir uns eine Vorstellung darüber bilden, wie groß die Zahl e ist. Den beiden Definitionen dieser Zahlen läßt sich diesbezüglich herzlich wenig entnehmen. Die Folgendefinition ist dabei noch weitaus nichtssagender als die Reihendarstellung. Fakultäten wachsen sehr schnell an, und d.h. sie werden in ihrem reziproken Wert sehr schnell klein. Die Reihe reziproker Fakultäten konvergiert deswegen auch recht schnell, und d.h. sie bewegt sich schon nach einigen wenigen Schritten in einer nahen Umgebung des Grenzwertes. Man kann das vergleichsweise auch recht gut abschätzen. Insbesondere auch läßt sich dabei feststellen, welche der bisher berechneten Bruchstellen bereits „fest“ sind. Wir können auf diese Weise nur nicht auch feststellen, ob die Zahl e auch rational ist oder nicht. Im Gegensatz zu b-al-Brüchen wissen wir von allgemein definierten Folgen bzw. Reihen auch nicht a priori, ob diese konvergieren oder nicht.

Nun kann man in die Berechnung einer Reihe wie  immer  eintreten. Wenn man dafür eine b-al – Bruch-Schreibweise wählt – und das ist auch die einzig sinnvolle, weil einzig operationsfreie Schreibweise – dann erfährt der dabei sich entwickelnde b-al-Bruch nach dem bislang dazu Gesagten eine ständige Ergänzung um immer weitere Bruchstellen. Diese Zuwächse werden schließlich auch immer auch kleiner, was bedeutet, daß auf immer größere Bruchstellen in der Bruchentwicklung dieser Reihe ausgewichen werden muß. Die zunehmend feinere Entwicklung spielt sich dann – ausschließlich  – auf zunehmend höheren Bruchstellen ab. Die Folge  der Reihenglieder ist eine Nullfolge, was in dezimaler Schreibweise so viel bedeutet, als daß die positiv besetzten Bruchstellen immer weiter nach rechts hinausrücken. Man weiß um die Gewichtung, die die einzelnen Bruchstellen so eines Bruches erfahren, und weiß, daß es sich bei dieser Folge von Gewichtungen um eine Nullfolge handelt. Genau deswegen auch sind b-al-Brüche konvergent. Die Zuwächse, mit der sich die einzelnen Bruchstellen maximal in den Bruch einbringen können, sind so, daß sie ab einer bestimmten Bruchstelle jeden beliebig vorgegebenen Wert e > 0 unterschreiten. Die m-te Bruchstelle bringt sich mit einem Wert von maximal  in den ganzen Bruch ein. Für jedes b ³ 2 ist das eine Nullfolge.

 Das allein wäre allerdings auch nur – wie wir wissen – eine notwendige, nicht aber auch zureichende Bedingung für Konvergenz. Der Beweis, daß b-al-Brüche konvergieren, wird deswegen auch anders geführt, auch wenn die dabei zu tätigende Abschätzung letztlich dieselbe ist. Daß b-al-Brüche Cauchy-Folgen sind, das läßt sich auch wieder nur so zeigen, daß die Differenz zweier Partialsummen – unter Verwendung der geometrischen Reihe allerdings, nachdem so eine Differenz im allgemeinen aus mehreren Bruch(stellen-)komponenten besteht – entsprechend nach oben abgeschätzt wird.[77] Wenn die sukzessive „Auflösung“ einer Reihe in einen b-al-Bruch gleichwohl allgemein nicht im Sinne der notwendigen Konvergenz einer Reihe gedeutet werden kann, so deswegen, weil in dieser Entwicklung beliebige Bruchstellen immer wieder zur Disposition stehen.

Nur in diesem Sinne kann sich eine solche Entwicklung als nicht-konvergent erweisen. Konvergent wird eine solche Entwicklung nur dann sein können, wenn sich mit zunehmender Entwicklung auch an zunehmend vielen, von Anfang des Bruches an aufgenommenen Bruchstellen nichts mehr ändern kann. Allerdings muß dieser Prozeß auch von einer bestimmten Qualität sein. Es müssen vergleichsweise schnell vergleichsweise viele Bruchstellen festgelegt sein. Andernfalls dürfte nicht nur die Reihe  konvergent sein; es müßte auch die harmonische Reihe  konvergieren. Das tut diese harmonische Reihe bekanntlich aber nicht. Das hat offenbar damit zu tun, daß mit jedem Glied dieser Reihe auch noch vergleichsweise viel zur Reihe dazukommt, und sich dementsprechend in der Aufrechnung dieser Reihe als b-al-Bruch an vergleichsweise vielen Positionen dadurch etwas ändern kann.

In jedes System von b-al-Bruch Darstellung ist ein System der Gewichtung der einzelnen Positionen eines jeden Bruches integriert. Es ist dieses System von Gewichtungen, daß die Konvergenz eines jeden solchen Bruches garantiert. Damit ist jedes solche System bzw. damit ist jeder Bruch aus so einem System auf ein bestimmtes Konvergenzverhalten programmiert. Die Konvergenz ist Teil der Darstellung. Wenn das, was in der „Aufrechnung“ einer Reihe als b-al-Bruch durch das einzelne Reihenglied hinzu kommt, so ist, daß damit nicht nur zusätzliche, bislang noch nicht besetzte Positionen bemüht werden, sondern daß dazu auch bereits besetzte Positionen immer wieder eine Veränderung erfahren, dann ist so etwas geeignet, das natürliche Konvergenzverhalten einer solchen Bruchentwicklung aufzuheben. Man läßt so einen Bruch dann einfach nicht konvergieren dadurch, daß man ihm immer wieder mehr aufbürdet als er in seinem natürlichen Konvergenzbestreben zu tragen vermag.

 

II. - Zum Beweis der allgemeinen Konvergenz von b-al-Brüchen benötigt man das Vollständigkeitsaxiom. B-al-Brüche sind Reihen, und Reihen sind definiert als Folge ihrer Partialsummen. Reihen konvergieren, wenn sie als Folge ihrer Partialsummen konvergieren. In einigen – einfachen – Fällen lassen sich diese Partialsummen auch allgemein feststellen und in ihrem Grenzwert berechnen. Es gibt auch eine Reihe von Konvergenzkriterien für Reihen, die uns in vielen Fällen die Konvergenz einer Reihe – nicht aber auch ihren Grenzwert – feststellen lassen. Wenn alle diese Kriterien auf – unendliche – b-al-Brüche nicht anwendbar sind, so liegt das einfach daran, daß keiner dieser Brüche auch allgemein formuliert bzw. definiert sein könnte. Es gibt für eine unendliche (Bruchstellen-)folge die ausschließlich die natürlichen Zahlen von 0 bis  – wenn b die Basis der Darstellung ist – zu Bildelementen hat, keine allgemeine Abbildungsvorschrift mit der Menge der natürlichen Zahlen als Definitionsbereich.

Hätte man eine solche Abbildung, wäre dadurch ein b-al-Bruch in seiner Bruchkomponente, und d. h. Bruchstellenfolge  auch – eindeutig – bestimmt. Dann könnte dieser Bruch auch nach allen Kriterien für die Konvergenz von Reihen untersucht werden. So aber können unendliche nicht-periodische b-al-Brüche nur Bruchstelle für Bruchstelle rekonstruiert werden, und d.h. sie können – zur Gänze – nicht angegeben werden. Was die allgemeine Konvergenz von b-al-Brüchen anbelangt, so wäre allerdings auch das Majorantenkriterium[78] ergiebig, vorausgesetzt der Bruch 0, b – 1, b – 1, b – 1, ..., der Bruch also, der in allen seinen Bruchstellen aus der Zahl b – 1 besteht, kann als konvergent nachgewiesen werden. Dieser Bruch wird allgemein mit 1 identifiziert.

In diesem Fall hätten wir wieder die klassische Grenzwertsituation vorliegen, die Situation also, daß der Grenzwert außerhalb der – diesem Grenzwert zugehörigen – Folge liegt. Der Wert 1 erfüllt jedenfalls die allgemeine Grenzwertdefinition. Als Grenzwert könnte in gleicher Weise aber auch der in seinen Bruchstellen ausschließlich aus  -en  bestehende Bruch angesehen werden. Dieser Bruch ist eine existente Größe, und im allgemeinen haben wir auch keine Möglichkeit, dafür einen endlichen "Ersatz"-grenzwert anzugeben. Das funktioniert so nur bei periodischen Brüchen, und d. h. es funktioniert nur im "rationalen" Fall. Im Nicht-periodisch-Unendlichen, und d. h. im Irrationalen sind wir auf die unendliche Bruch(stellen-)entwicklung festgelegt. Dann ist diese Entwicklung – notwendig – zugleich auch Grenzwert. Aber auch im rationalen Fall wäre zu sagen, daß der periodische Bruch mit Periode 9: 0,999999..... nicht gleich 1 ist. Die beiden Brüche sind, wenn wir 1 als 1,00000..... lesen, schließlich in allen ihren Bruchstellen verschieden besetzt.

 Die Vorstellung, die hinter dieser Gleichsetzung steht, ist allerdings auch keine andere als die, die uns von der allgemeinen Konvergenz von b-al-Brüchen ausgehen läßt. Vorausgesetzt, daß keine Bruchstelle mit einer 0 besetzt ist, wäre in der Frage der Konvergenz von b-al-Brüchen auch das Quotientenkriterium[79] ergiebig. Allerdings handelt es sich bei diesem Kriterium auch nur um eine Variante des Majorantenkriteriums. Es bedarf also schon des eigenen Beweises der Konvergenz von b-al-Brüchen, und dieser Beweis kann sich – mangels allgemeiner Darstellungen solcher Brüche – nur auf allgemeine Abschätzungen in den Differenzen von Partialsummen stützen, und d.h. es kann dieser Beweis nur darin bestehen, daß die Folge der Partialsummen so eines Bruches als eine Cauchy-Folge nachgewiesen wird. Das entspricht so auch dem „allgemeinen Cauchyschen Konvergenzkriterium“.[80] Reihen konvergieren definitionsgemäß, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert, und diese Folge konvergiert genau dann auch, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Bei b-al-Brüchen läßt sich das – wie gesehen – aufgrund allgemeiner Abschätzungen auch allgemein nachweisen.

 Das ist auch die einzige Möglichkeit, die wir diesbezüglich haben. Wir haben nicht die Möglichkeit, die allgemeine Folge der Partialsummen so eines Bruches festzustellen, um anschließend auch noch deren Grenzwert zu bestimmen. Wir haben auch nicht die Möglichkeit, einen Grenzwert, der sich in mehr oder weniger natürlicher Weise als solcher aufdrängt, auf seine tatsächliche Grenzwerteigenschaft hin zu überprüfen. Bei vielen einfachen Folgen ist so etwas bekanntlich ein mögliches Verfahren. Die erste dieser beiden Möglichkeiten scheitert daran, daß uns b-al-Brüche nie allgemein, und d.h. aufgrund einer allgemeinen Abbildungsvorschrift, gegeben sind. Solche Brüche können uns im übrigen aber auch nicht im besonderen explizit-materiell in ihren unendlich vielen Bruchstellen gegeben sein.

Deswegen kann das im allgemeinen auch mit der zweiten Möglichkeit nicht funktionieren. Wir haben für das, was als Grenzwert so eines Bruches dienen könnte, im allgemeinen einfach keine endliche Darstellung. Ein unendlicher Bruch kann jedenfalls keinen endlichen Bruch sondern allenfalls sich selbst als unendlichen Bruch zum Ergebnis bzw. Grenzwert haben. Allenfalls an eine abkürzende – operative – Schreibweise wie beispielsweise  ist dabei zu denken. Einer solche operativen Darstellung läßt sich allerdings nicht entnehmen, daß es sich dabei um den Grenzwert eines unendlichen, nicht periodischen Bruches handelt. Das läßt sich auch durch keine explizit-materielle Bruchentwicklung dieser Zahl nachweisen, bleibt so eine Entwicklung naturgemäß doch immer auf endliche Teilentwicklungen beschränkt. Der Charakter der Zahl  läßt sich nur vermittels – kombinierter – algebraisch-analytischer Überlegungen feststellen. Daß eine Zahl irrational ist, das läßt sich nicht dadurch feststellen, daß man diese Zahl in einen Bruch zu entwickeln sucht und dabei feststellt, daß es sich um einen unendlichen nicht-periodischen Bruch handelt. Immerhin ist so ein Bruch durch so eine Zahl wie  in seiner ganzen – unendlichen – Entwicklung dann auch eindeutig (vor-)bestimmt.

Grenzwert so einer Bruchentwicklung ist im übrigen aber auch diese Bruchentwicklung selbst. Unendliche b-al-Brüche sind allesamt konvergent, und sie konvergieren gegen die eigene, sich entwickelnde Darstellung. Das ist das Besondere an diesen Brüchen, daß sie sich – auch in ihrem Grenzwert – selbst zur Darstellung bringen. Damit stellt sich auch die Frage nach einem – konkreten – Modell für diese Brüche nicht mehr. Ist nachgewiesen, daß nicht nur jeder solche Bruch gegen eine reelle Zahl konvergiert, sondern daß sich umgekehrt auch jede reelle Zahl in einen solchen Bruch entwickeln läßt, dann stellt sich diese Frage nach einem Modell auch für die reellen Zahlen als Ganzes nicht. Entscheidend ist dabei – um das nochmals zu betonen –  daß jeder solche Bruch – in  – auch konvergiert. Nur dann läßt sich sinnvollerweise von so einem Bruch als einer reellen Zahl reden. So ein Bruch wird dann einfach mit seinem Grenzwert identifiziert. Seine einzig mögliche, operationsfreie Darstellung findet dieser Grenzwert allerdings – wie gesagt – im allgemeinen nur in diesem – unendlichen – Bruch selbst.

Daß diese Brüche ganz allgemein konvergieren, das läßt sich aber auch nur mit Hilfe eines zusätzlichen Axioms – des Vollständigkeitsaxioms – beweisen. Es gibt für dieses Axiom mehrere äquivalente Formulierungen. Zum Beweis der Konvergenz von b-al-Brüchen bedient man sich dieses Axioms zweckmäßiger Weise in der Formulierung, wonach in R jede Cauchy-Folge konvergiert. Mit Hilfe der geometrischen Reihe lassen sich nämlich bequem die Differenzen der Partialsummen so eines Bruches in Abhängigkeit von den Indizes dieser Summen in der für Cauchy-Folgen erforderlichen Qualität abschätzen. Als Cauchy-Folge ist so ein Bruch dann – axiomengemäß – als ein konvergenter Bruch nachgewiesen. Man braucht zum Nachweis der allgemeinen Konvergenz solcher Brüche aber auch wirklich das Vollständigkeitsaxiom. Die Eigenschaft, Cauchy-Folge zu sein, begründet nicht notwendig auch die Konvergenz einer Folge. Was im besonderen b-al-Brüche anbelangt, so kann darüber auch nicht das diesen Brüchen aufgrund der systematisch abnehmenden Gewichtung in den einzelnen Position natürlicherweise inhärente Konvergenz bestreben hinwegtäuschen. Aufgrund dieser Gewichtung bringt sich in der Entwicklung eines solchen Bruches jede zusätzliche Bruchstelle nur mehr mit einem Bruchteil dessen, was die vorhergehende Bruchstelle noch zum Bruch beiträgt, in diesen Bruch ein.

Das gilt für alle diese Bruchstellen ganz allgemein, so daß man ebenso allgemein auch feststellen kann, daß alles, was nach einer Bruchstelle noch an Ergänzungen kommt, nicht an das heranreicht, was auf der einen Bruchstelle zuvor an Ergänzung geleistet wurde. Damit läßt sich von jeder Bruchstelle aus – der Grenzwert des Bruches als gegeben und bekannt vorausgesetzt – bequem abschätzen, wie weit wir uns mit so einem Bruch einschließlich dieser einen Bruchstelle allenfalls noch von diesem Grenzwert entfernt befinden können. Jeder beliebig vorgegebene Wert e > 0 läßt sich auf diese Weise – abstandsbezogen – mühelos unterbieten, so wie es die Grenzwertdefinition verlangt. In den natürlichen Zahlen, die dieser Definition zufolge – abhängig vom vorgegebenen e > 0 – zu bestimmen sind, haben wir uns dabei einfach nur auf die Bruchstellen in der der Menge der natürlichen Zahlen folgenden Reihenfolge dieser Bruchstellen zu beziehen. Wenn man also einen Grenzwert hat, der tatsächlich auch Grenzwert ist, dann ist es in diesem Fall auch kein Problem, diesen Grenzwert auch als Grenzwert nachzuweisen.

 

III. - Man kann aus der Konstruktion von b-al-Brüchen des weiteren auch ableiten, daß der Grenzwert in jedem Fall auch eindeutig bestimmt ist. Das alles ist allerdings nicht geeignet, die Existenz eines solchen Grenzwertes auch zu garantieren. Daß das, was durch jede einzelne Bruchstelle hinzukommt, in der (Ab-)folge eine Nullfolge ist, das reicht – wie wir wissen – im allgemeinen nicht aus, um die Konvergenz einer Reihe auch sicherzustellen, wie das (Gegen-) beispiel der harmonischen Reihe zeigt. Wie sich zeigen läßt ist diese Reihe in der Folge ihrer Partialsummen keine Cauchy-Folge.[81] Die gegenteilige Annahme läßt sich durch einfache Abschätzungen widerlegen. Man kann auch zeigen, daß die Folge der Partialsummen dieser Reihe nicht nach oben beschränkt ist, was sie allerdings sein müßte, wenn die Reihe auch konvergieren soll.[82] Eine weitere Möglichkeit, die Divergenz der harmonischen Reihe zu beweisen, besteht in dem sogenannten „ Integraltest“.[83] Die – dann allerdings nicht mehr als solche bezeichnete – harmonische Reihe konvergiert, sobald das allgemeine Reihenglied mit einem konstanten Exponenten k > 1 versehen wird.

Daß die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge bildet, garantiert also nicht auch schon die Konvergenz der ganzen Reihe. Deswegen auch kann aus dieser Eigenschaft nicht schon die allgemeine Konvergenz von b-al-Brüchen abgeleitet werden. Über deren Partialsummen läßt sich diese Konvergenz ebenfalls nicht feststellen, nachdem uns dafür die Möglichkeit der allgemeinen Berechnung dieser Summen eines solchen Bruches fehlt. Es wäre im übrigen auch nicht gut, die Konvergenz eines jeden solchen Bruches getrennt für sich nachweisen zu müssen. Wenn sich denn die Konvergenz dieser Brüche auch allgemein beweisen läßt, sollte man sie auch allgemein beweisen wollen, und sie läßt sich – wie wir wissen – auch allgemein beweisen. Bewiesen wird diese Konvergenz dadurch, daß die Folge der Partialsummen so eines Bruches als Cauchy-Folge nachgewiesen wird. Eine Cauchy-Folge liegt vor, wenn die Folgenglieder in ihren Abständen voneinander kleiner als jedes  sind, falls die Folgenglieder in ihren Indizes von einen im allgemeinen in Abhängigkeit von dem vorgegebenen  zu bestimmenden Mindestindex sind. Natürlich kann man diese Bedingung nicht für jedes  getrennt überprüfen wollen. Es genügt, wenn dieser Mindestindex in Abhängigkeit allein von dem beliebig vorzugebenden – und insoweit auch völlig unbestimmt gelassenen  ebenso unbestimmt „bestimmt“ werden kann.

Diese Situation ist uns aus der allgemeinen Grenzwert-Definition von Folgen bekannt. Falls man einmal doch an einem bestimmten Wert des Abstandes zweier Folgenglieder interessiert ist, so müßte man diesen Abstand eben berechnen, und d.h. man müßte diesen Abstand in einen b-al-Bruch entwickeln. Daß diese Abstände beliebig klein gehalten werden können sollen, schlägt sich dann in der Länge dieser Bruchentwicklungen wider. Kleine Abstände finden ihren Ausdruck in hohen – besetzten – Bruchstellen. Eine Nullfolge in b-al-Bruchschreibweise würde beispielsweise so aussehen, daß in der Folge dieser Brüche die besetzten Positionen immer weiter nach rechts – genauer noch: beliebig weit nach rechts – hinausrücken. Hat das aber auch zu bedeuten, daß sich in dieser Folge von Brüchen notwendig auch unendliche Brüche befinden? Offensichtlich nicht. Eine Nullfolge von Brüchen ist beispielsweise auch dadurch gegeben, daß man für jedes natürliche n den Bruch auswählt, der an der n-ten Bruchstelle mit einer 1, ansonsten aber ausschließlich mit Nullen besetzt ist. Es handelt sich dabei ausschließlich um endliche Brüche, nachdem die Nullen nach der – einzigen – Eins allesamt fakultativer Natur sind. Unendlich ist ein Bruch genau dann, wenn er ab einer bestimmten Position nicht ausschließlich aus dann – wie gesagt – auch fakultativen Nullen besteht. Brüche mit nur endlich vielen positiv besetzten Bruchstellen sind zwangsläufig endliche Brüche.