2.3.3 Der Divisionsalgorithmus ganzer Zahlen

 

I. - Man kann das Problem der nur beschränkt möglichen Division ganzer Zahlen nicht dadurch gelöst haben wollen, daß man die Menge möglicher Quotienten aus ganzen Zahlen zu einem Körper von Brüchen werden läßt, der in natürlicher Weise auch die Menge der ganzen Zahlen enthält. Damit ist das Problem nicht gelöst. Es wird nur so getan, als ob es gelöst wäre, indem uns gesagt wird, wie mit diesem ungelösten Problem umzugehen ist. Man erklärt dazu alle diese Brüche – die unauflösbaren genauso wie die auflösbaren, und d.h. die nicht-dividierbaren genauso wie die dividierbaren – zu einem Körper solcher Brüche, indem auf der Menge dieser dafür notwendigen Verknüpfungen mit den erforderlichen guten Eigenschaften definiert werden. Das läßt sich alles so auch einrichten. Gelöst ist das ursprüngliche und eigentliche Problem damit aber nicht. Dieses Problem ist nicht ein Problem des Umganges mit ganzen Brüchen, sondern eines der Auflösung einzelner Brüche. Man möchte einfach allgemein haben, daß der Zähler eines Bruches durch seinen Nenner dividiert werden kann. Dazu hat uns unsere Konstruktion aber nichts zu sagen. In der Praxis wissen wir natürlich um die Lösung dieses Problems, weil wir wissen, wie ganze Zahlen dividiert werden.

Wenn in der – konstruktiven – Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen gleichwohl von besagtem Verfahren Gebrauch gemacht wird, so deswegen, weil wir unabhängig von dieser Konstruktion eine Möglichkeit haben, dem Quotienten zweier ganzer Zahlen r/s, mit s ¹ 0 eine bestimmte – rationale – Zahl außerhalb der regulären – algebraischen – Darstellung dieser ganzen Zahlen zuzuordnen. Wir wissen schlicht und einfach, wie man ganze Zahlen dividieren kann, weil es dafür einen Divisionsalgorithmus[62] gibt. Dieser Divisionsalgorithmus funktioniert immer, unabhängig davon, welches die ganzen Zahlen sind, und d.h. er funktioniert auch dann, wenn die Division innerhalb der ganzen Zahlen nicht ausführbar ist, weil es für diesen Quotienten keine ganze Zahl gibt, die als Ergebnis so einer Division in Frage käme. Wie aber sieht dieses Ergebnis dann aus, wenn es nicht das Aussehen eines – formalen – Bruches bzw. Quotienten haben soll?

Das Ergebnis sieht, wie wir wissen, im allgemeinen so aus, daß einer (Zahl-)zeichenfolge, so wie sie regulär der Darstellung einer natürlichen bzw. auch ganzen Zahl dient, abgetrennt durch ein Komma, noch eine – möglicherweise auch unendliche – Reihe von (Zahl-)zeichen aus dem jeweils verwendeten System von Polynom-Darstellung natürlicher Zahlen folgt. Würde es sich dabei auch nur um eine endliche Folge handeln, könnte man das Ergebnis so einer Division – formal – einfach als geordnetes Paar natürlicher Zahlen beschreiben, nur daß man sich in der Schreibweise die dabei üblicherweise verwendeten beiden runden Klammern spart. Man kann diese Schreibweise im übrigen auch beibehalten, wenn die Zeichenfolge nach dem Komma keine endliche sein sollte. Unendlich könnte diese Zeichenfolge nämlich nur in periodischer Form sein und d.h., es würde sich ab einer bestimmten Stelle nach dem Komma eine bestimmte endliche Zeichenfolge immer nur wiederholen. Die unendliche Zeichenfolge wäre durch ihre endliche Periode vollständig bestimmt, wodurch auch in diesem Fall das Ergebnis unserer Division ganzer Zahlen – formal – auf ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen zurückgeführt wäre.

Das gilt – wie gesagt – aber auch nur formal. Wären das auch wirklich nur zwei natürliche Zahlen, dann wäre dadurch auch gegenüber einer reinen Bruch- bzw. Quotientenschreibweise nichts gewonnen. Jeder Bruch bzw. Quotient zweier ganzer Zahlen ist – bis auf das Vorzeichen, von dem wir im Augenblick abstrahieren – auch nichts anderes als ein geordnetes Paar natürlicher Zahlen. Würde das Komma in der Schreibweise des Ergebnisses der Division zweier ganzer Zahlen nur dazu dienen, zwei in ihrer Darstellung eigenständige natürliche Zahlen voneinander zu trennen, so hätte uns die ganze Aktion Division nichts gebracht. Wir wären dann wieder nur mit zwei Zahlen bedient, wo doch die ganze Aktion dazu dienen sollte, aus zwei Zahlen eine Zahl werden zu lassen. Nichts anderes sollte man sich von einer Division – genauso wie von jeder anderen mathematischen Verknüpfung auch – erwarten können, wenn denn tatsächlich auch dividiert worden ist. Im übrigen auch könnte es sich bei diesen zwei Zahlen, die als Ergebnis der Division zweier anderer Zahlen präsentiert werden, nur um eine äquivalente Ausgabe des Quotienten dieser beiden anderen Zahlen handeln. Zwei Brüche  und  gelten bekanntlich als äquivalent, und d.h. sie stellen dieselbe – rationale – Zahl dar, wenn ps = rq ist.

Dahinter verbirgt sich einfach nur die allgemeine Kürzungs- bzw. Erweiterungsregel für Brüche. Auf diese Weise auch findet dann jede rationale Zahl ihre Darstellung in unendlich vielen Brüchen bzw. auf diese Weise auch läßt sich jede rationale Zahl als Äquivalenzklasse von Brüchen verstehen. Gekürzt werden kann ein Bruch durch eine ganze Zahl, wenn Zähler und Nenner aus einem Vielfachen dieser Zahl bestehen. Das Kürzen eines Bruches besteht dann in der Division von Zähler und Nenner durch diese eine ganze bzw. natürliche Zahl, so daß im Zähler und Nenner nur noch diese – ursprünglichen – Vielfachheiten dieser einen Zahl zu stehen kommen. Man kann Zähler und Nenner eines Bruches aber auch durch jede beliebige rationale Zahl mit endlicher Bruchkomponente dividieren, ohne daß sich dadurch am Wert des Bruches etwas ändern würde. Um diese Division aber allgemein auch ausführen zu können, benötigt man den allgemeinen Divisionsalgorithmus.

Dieser Algorithmus kann natürlich auch dann eingesetzt werden, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist, und d.h., wenn die Division in der Menge der ganzen Zahlen auch ausführbar ist. Das Ergebnis der Division besteht dann einfach in diesem ganzzahligen Vielfachen des Divisors. Wenn das nicht so ist, bekommen wir ein Ergebnis, das durch ein Komma unterteilt ist. Gelesen wird das, was nach dem Komma kommt, aber auch dann nicht als natürliche Zahl, wenn es – formal – eine solche darstellt. Zu einer natürlichen Zahl wird eine endliche (Zahl-)zeichenfolge im übrigen aber auch erst durch die Gewichtung, die jedes einzelne Zeichen in der ganzen Zeichenfolge entsprechend der Position, die sie in dieser Zeichenfolge einnimmt, erfährt. Diese Gewichtung ist durch die Potenz  gegeben, wenn b die Basis der Darstellung und n die Position eines Zeichens innerhalb einer Zeichenfolge – von rechts nach links gelesen – ist. Die Reduktion um 1 im Exponenten gegenüber der Position kommt von daher, daß in der Gewichtung der einzelnen Zeichen mit dem Exponenten Null – entgegen der Zählweise in den Positionen, die ganz natürlicherweise die 1 zum Anfang hat – begonnen wird.

Gleichlautend mit der – natürlichen – Positionenfolge wird allerdings in der Zeichenfolge nach dem Komma gewichtet, nur daß die Exponenten der Potenzen der Basis b diesmal allesamt negatives Vorzeichen tragen. So wird das erste Zeichen nach dem Komma mit der Potenz  bzw. – im Dezimalsystem –  gewichtet. Entsprechend der Definition negativer Potenzen ist das einfach das Inverse von b bzw. 10. Dafür kann man auch – das wissen wir – 1/b bzw. 1/10 schreiben. Das zweite Zeichen wird entsprechend mit  gewichtet. Dafür kann man wieder  schreiben. Unter der Zahl 0, 13 ist dann beispielsweise die Summe 1 ×  + 3 ×  bzw. 1 ×  + 3 ×  =  +  zu verstehen.

In dieser Lesart ist zunächst nur eine reine Konvention bzw. Definition zu sehen. Im Divisionsalgorithmus selbst ist von dieser Konvention bzw. Definition nichts zu sehen. Man kann mit anderen Worten dividieren, ohne um diese Konvention bzw. Definition zu wissen. Das gilt im übrigen aber auch für jede andere Operation mit Zahlen in konkreter Zahldarstellung. Man kann Zahlen addieren, subtrahieren oder multiplizieren, ohne um das System zu wissen, in dem diese Zahlen dargestellt sind. Man muß wissen, wie der betreffende Algorithmus funktioniert, und dieser Algorithmus funktioniert, auch wenn den einzelnen „Zahlen“ kein System von Zahldarstellung zugrunde liegen sollte, und d.h., wenn in der einzelnen Zeichenfolge nicht mehr als eben diese Folge von Zeichen gesehen wird. Schließlich wird in allen diesen Algorithmen auch nicht auf irgendeine Gewichtung, so wie sie in der einen oder anderen Form jeder Zahldarstellung zugrunde liegt, Bezug genommen. Es wird in diesen Algorithmen nur mit den Zeichenfolgen operiert. Daß damit auch korrekt operiert wird, läßt sich mit Hilfe der zur ausgeführten Operation inversen Operation erklären. Es gibt zu jeder Operation eine inverse Operation, und d.h. eine Operation, die eine andere Operation in ihrer Wirkung egalisiert. Zwei solche Operationen heben sich in ihrer Wirkung mit anderen Worten gegenseitig auf, wenn sie hintereinander ausgeführt werden.

 

II. - Die zur Division gegensätzliche Operation ist die Multiplikation. Die Gegensätzlichkeit dieser beiden Operationen besteht darin, daß die Division einer Zahl a durch eine Zahl  wieder zur Zahl a zurückführt, wenn wir das Ergebnis dieser Division mit der Zahl b multiplizieren. So läßt sich Division auch definieren. Ein allgemeines Verfahren zur Division von Zahlen bzw. Zeichenfolgen kann dann als korrekt definiertes Verfahren gelten, wenn es dazu ein allgemeines gegensätzliches Verfahren gibt, das diese Division in dem beschriebenen Sinne aufhebt. Diese Situation haben wir bei unserem allgemeinen Divisionsalgorithmus vorliegen. Es gibt zu diesem Algorithmus eine Multiplikation, die diese Division in ihrer Wirkung rückgängig macht.

Der Divisions- bzw. Multiplikationsalgorithmus, so wie er uns von den natürlichen bzw. ganzen Zahlen bekannt ist, läßt sich – genauso wie der Additions- bzw. Subtraktionsalgorithmus – allgemein auch auf die Menge aller endlichen bzw. periodisch-unendlichen b-al-Brüche ausdehnen. Mit diesen Brüchen gemeint sind einfach Komma-Darstellungen der vorhin beschriebenen Art. Per Konvention läßt sich jede ganze Zahl auch als ein b-al-Bruch  schreiben, indem der regulären Darstellung so einer Zahl als endlicher Zeichenfolge einfach noch ein Komma mit beliebig vielen Nullen angefügt wird. Im allgemeinen Divisionsalgorithmus denken wir uns im übrigen diese Nullen – nach Bedarf – entsprechend ergänzt.  

Damit ist uns in der Menge endlicher bzw. periodisch-unendlicher b-al-Brüche mit allem gedient, womit uns gedient sein sollte. Es finden sich in dieser Menge die ganzen Zahlen integriert, und es kann in dieser Menge uneingeschränkt addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden, wobei sich diese Operationen mit den bereits auf der Menge der ganzen Zahlen definierten Operationen decken, soweit diese dort auch definiert sind. Die Addition zweier ganzer Zahlen ist beispielsweise im Ergebnis diesselbe, unabhängig davon, ob die Addition nach „herkömmlicher“ Weise – will heißen der Rechenschieber bzw. Zahlenstrahlmethode – oder nach der des allgemeinen Additionsalgorithmus auf der Menge aller b-al-Brüche – zu der die ganzen Zahlen natürlicherweise auch gehören – vollzogen wird. Es macht dies deswegen keinen Unterschied, weil – wie gesagt – dieser allgemeine Additionsalgorithmus auch nur eine Verallgemeinerung des Verfahrens ist, wie wir es bei der Addition ganzer Zahlen ohnehin immer schon anwenden. Das komma in so einer Bruchdarstellung stört dabei nicht im geringsten.

Das ist natürlich eine Bedingung, der die Erweiterung von Zahlbereichen immer zu genügen hat, daß nämlich die auf der Erweiterungsmenge definierten bzw. zu definierenden Verknüpfungen mit den auf der ursprünglichen Menge bereits gegebenen diesbezüglichen Verknüpfungen verträglich sind. Genauso wie sich diese ursprüngliche Menge als Teilmenge der Erweiterungsmenge verstehen lassen können muß, genauso müssen sich die auf dieser ursprünglichen Menge bereits gegebenen Verknüpfungen unverändert in die entsprechenden Verknüpfungen auf der Erweiterungsmenge einbringen können. Es darf mit anderen Worten keinen Unterschied machen, ob man zwei Elemente der Ausgangsmenge zunächst miteinander verknüpft und dieses Ergebnis erst mit dem diesen in der Erweiterungsmenge entsprechenden Element identifiziert, oder ob man diese Identifizierung für die beiden Elemente der Ausgangsmenge zuerst getrennt vornimmt und dann erst in der Erweiterungsmenge verknüpft.

Alle diese Bedingungen sind von unserer Menge endlicher bzw. periodisch-unendlicher b-al-Brüche erfüllt. In dieser Menge kann zudem auch uneingeschränkt dividiert werden. Schließlich – und darauf kam es uns gerade an – wird in dieser Menge Division nicht einfach nur dargestellt bzw. angedeutet, sondern – effektiv – auch ausgeführt. Das sieht man einfach daran, daß das Ergebnis so einer Division genauso Element unserer Menge von b-al-Brüchen wie Dividend und Divisor auch ist.

 Die Division zweier Zahlen aus dieser Menge führt wieder zu einer Zahl dieser Menge. Wenn in der Bruchdarstellung rationaler Zahlen an eine Division gedacht ist, dann möchte man diese Division nicht nur dargestellt haben, sondern – bei Bedarf – auch ausführen können. Im „abstrakten“ Körper der Brüche des Integritätsringes Z können wir das nicht. Wir können es – vermöge unseres Divisionsalgorithmus – im Körper der endlichen bzw. periodisch-unendlichen b-al-Brüche. In diesem Körper können umgekehrt Divisionen keine abstrakt-formale Darstellung in dem Sinne finden, daß der Quotient zweier Elemente dieses Körpers auch als ein Element dieses Körpers angesehen werden könnte. Der – formale – Quotient zweier Zahlen dieses Körpers ist als Quotient selbst nicht auch Element dieses Körpers. Element dieses Körpers ist „lediglich“ das Ergebnis der Division von Zähler durch Nenner dieses Quotienten.

In der Praxis wird diesbezüglich allerdings nicht so genau differenziert. Insofern als so ein Quotient jederzeit auch aufgelöst werden könnte, gehört dieser Quotient – im übertragenen Sinne zumindest – schon auch selbst zu der betreffenden Menge. Man möchte dann – wie gesagt – aber auch haben, daß es für diesen Quotienten eine operationsfreie Darstellung in dieser Menge gibt, und d.h., daß es für diesen Quotienten eine Darstellung gibt, die weiter nicht mehr vereinfacht werden kann, weil sich darin nichts mehr an operativen Elementen, die nach ihrer Ausführung der Darstellung ein anderes Aussehen geben könnten, findet.

Auch in dieser Hinsicht erfüllen b-al-Brüche unsere Erwartungen. Das Komma in diesen Brüchen hat lediglich eine gliedernde, nicht aber auch eine operative Funktion. Eine operative Qualität hat natürlich die Gewichtung, die wir den einzelnen Zeichen entsprechend ihrer Position innerhalb einer ganzen Zeichenfolge geben, wenn wir so eine Zeichenfolge im Sinne eines ganzen Systems von Zahldarstellung lesen. In den Divisionsalgorithmus geht diese Gewichtung allerdings nicht ein. In den einzelnen Systemen von b-al-Bruch-Darstellung – bei denen es sich im übrigen, wie gesehen, um eine Verallgemeinerung der verschiedenen Systeme von Polynom-Darstellung natürlicher Zahlen handelt – ist für den Divisionsalgorithmus nur die Reihenfolge von Bedeutung, in der die einzelnen vorgegebenen bzw. vorzugebenden Zeichen geordnet sein müssen, damit in so ein System von Darstellung auch eingetreten werden kann. Das ist natürlich etwas, was man den einzelnen Zeichenfolgen nicht ansehen kann.

Diese Information muß also von außerhalb kommen. Ansonsten kommt es bei diesem Algorithmus nur auf die Reihenfolge an, in der in einer Zeichenfolge die einzelnen Zeichen gesetzt sind. Daß man darüber hinaus auch um eine Reihenfolge – wir mögen uns diese auch ganz nach Belieben zurecht legen – der verwendeten Zeichen wissen muß, verleiht so einer Zeichenfolge wiederum auch keinen operativen Charakter. Insbesondere zieht die Feststellung bzw. Festlegung so einer Reihenfolge nicht notwendig auch eine Gewichtung der einzelnen Zeichen einer Zeichenfolge nach sich. Man muß deswegen so eine Zeichenfolge nicht gleich auch als Polynom mit einer festen Polynomvariablen – der Basis b der Darstellung nämlich – lesen. Man muß insbesondere so eine Zeichenfolge nicht auch als Zahl verstehen wollen. Allerdings setzt der in diesem Divisionsalgorithmus notwendig integrierte Subtraktions- und Multiplikationsalgorithmus voraus, daß man über den allgemeinen Mechanismus eines jeden Systems von Polynom-Darstellung informiert ist. Damit weiß man natürlich auch um die Reihenfolge, in der die Zeichenfolgen eines jeden solchen Systems geordnet sind.Dieser Kenntnis der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen verbindet sich nicht aber auch notwendig ein Verständnis einer jeden dieser Zeichenfolgen als einer ganz bestimmten Zahl. Man kann mit solchen Zeichenfolgen operieren, ohne sich darüber Gedanken machen zu müssen, was solche Folgen womöglich auch noch anderes darstellen könnten als sich selbst als Zeichenfolge einfach.

 

III. - Das Verfahren zur Darstellung solcher Zeichenfolgen läßt uns nicht notwendig jede solche Zeichenfolge auch schon in einem bestimmten System von Polynom-Darstellung von – natürlichen – Zahlen lesen, auch wenn das einzig mögliche System einer solchen Darstellung, in dem so eine Zeichenfolge gelesen werden könnte, durch dieses Verfahren bzw. durch die diesem Verfahren vorzugebenden endlich vielen, in Reihenfolge geordneten Zeichen eindeutig bestimmt ist. Daraus leitet sich – wie wir wissen – dann auch die Gewichtung ab, die jedes einzelne Zeichen einer Zeichenfolge entsprechend der Position, die es in dieser Zeichenfolge einnimmt, erfährt, wenn wir diese ganze Zeichenfolge mit einer bestimmten Zahl identifizieren. Es ist dies eine Gewichtung, die nach außen nicht in Erscheinung tritt. Jede Zahl präsentiert sich uns in konkreter Darstellung immer nur durch eine bestimmte Zeichenfolge. Durch so eine Zeichenfolge ist eine Zahl in jedem Fall auch eindeutig bestimmt, unabhängig davon, ob wir in einer Zeichenfolge nur eine Folge von Zeichen oder aber auch den entsprechenden Polynomausdruck in einem System von Polynom-Darstellung mit der Basis b als "fester Polynomvariabler" und den einzelnen Zeichen als den entsprechenden Koeffizienten sehen.

Für den Divisionsalgorithmus ist diese Polynom-Lesart ohne jede Bedeutung. Sollte diese Lesart diejenige sein, die uns eine Zeichenfolge auch als Zahl auffassen läßt, dann würde das bedeuten, daß unser Divisionsalgorithmus nicht notwendig als Algorithmus zur Division von Zahlen verstanden werden müßte. Einfache Zeichenfolgen würden es dann auch tun, und sie tun es auch. Man kann sich fragen, was das für die Mathematik insgesamt zu bedeuten hätte. Könnte es sein, daß die ganze Mathematik keine Mathematik von Zahlen, sondern einfach nur von Zeichenfolgen ist? Die Frage ist einfach auch die: Was ist Sinn und Zweck der Lesart einer Zeichenfolge als eines Polynomwertes?

Fest steht, daß jede Zeichenfolge, die aus dem allgemeinen Verfahren zur systematischen Produktion aller möglichen endlichen Kombinationen von Zeichenfolgen aus einer vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlichen und in Reihenfolge geordneten Menge von Zeichen hervorgeht, sich nicht nur von allen anderen Folgen des Systems unterscheidet, sondern auch vermittels der Reihenfolge, in der in ihr die einzelnen Zeichen gesetzt sind, auch in ihrer Position innerhalb der ganzen – unendlichen – Reihenfolge dieser Zeichenfolgen eindeutig bestimmt ist. Wir können jeder solchen Zeichenfolge also sofort entnehmen, wo wir mit dieser Folge innerhalb der ganzen Reihenfolge solcher Folgen stehen. Und das genügt im übrigen auch, um eine jede solche Folge mit einer bestimmten Position innerhalb der Reihenfolge aller dieser Folgen, und d.h. auch mit einer bestimmten natürlichen Zahl identifizieren zu können. Bekanntlich findet sich in jeder Reihenfolge dasselbe Positionensystem verwirklicht.

In der Abfolge der Positionen, die von den Elementen einer Reihenfolge gesetzt sind, unterscheiden sich Reihenfolgen nicht. Damit ist jedes systematisch entwickelte System von Reihenfolge geeignet, Darstellung des allgemeinen Positionensystems von Reihenfolge, und d.h. Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen zu sein. Dann zählt auch nicht mehr, daß die Darstellung der einzelnen natürlichen Zahl auch ganz verschieden ausfällt, je nachdem mit welchem Zeichenmaterial wir die systematische Produktion endlicher Zeichenfolgen aufnehmen bzw. aufnehmen lassen. Also, wenn es nur um die Darstellung natürlicher Zahlen geht, dann bedarf es dazu keiner Interpretation der diese Zahlen darstellenden Zeichenfolgen als Polynomwerte. Wieso aber werden dann natürliche Zahlen über die sie darstellenden Zeichenfolgen gerade auf diese Weise identifiziert und realisiert? Offensichtlich hat das damit zu tun, daß man jede einzelne natürliche Zahl über diese ihre Zeichenfolge auch in einzelne Teile zerlegt haben will. Man möchte wissen, wie sich jedes einzelne Zeichen in eine natürliche Zahl einbringt, bzw. was so ein Zeichen zu einer natürlichen Zahl beiträgt.

Über die Reihenfolge in der alle diese Zeichenfolgen in systematischer Weise geordnet sind, läßt sich diesbezüglich nichts beibringen. Es wird uns in dem alle diese Folgen produzierenden Verfahren nur gesagt, wie Zeichen auszutauschen bzw. zu ergänzen sind, um von einer Zeichenfolge zur nächstfolgenden Folge im ganzen System dieser Folgen zu kommen. Natürlich trägt jedes Zeichen einer Zeichenfolge in unverzichtbarer Weise zur Identität dieser Zeichenfolge bei. Man kann das in diesem Verfahren zur Produktion aller dieser Zeichenfolgen nur nicht auch beziffern. Jedes Zeichen einer Zeichenfolge bringt sich als dieses eine Zeichen an dieser einen bestimmten Position in so eine Zeichenfolge ein. Das ist alles, was man aus dieser Perspektive zum Beitrag einzelner Zeichen zu einer Zeichenfolge sagen kann. Was soll man dazu aber anderes auch sagen können? Sieht man sich das Verfahren zur Produktion aller dieser Zeichenfolgen etwas genauer an, dann sieht man allerdings schon auch, wie im fortlaufenden Verfahren auf jeder Position darüber Buch geführt wird, wie oft auf der Position zuvor der ganze Satz an zur Verfügung stehenden Zeichen „gesetzt“ wurde.

Es wird dabei einfach nach einem bestimmten Blockbildungsverfahren vorgegangen. Das ganze Verfahren beginnt damit, daß man jedes einzelne der vorgegebenen Zeichen – die Null als erstes Zeichen allein ausgenommen (sofern die Null nicht auch als natürliche Zahl angesehen wird, was sie im engeren und eigentlichen mathematischen Sinne aber auch nicht ist) – in der ihnen aufgegebenen bzw. vorgegebenen Reihenfolge einzeln setzt. Ist man damit einmal durch, wird das mit einer 1 auf einer zweiten Position vermerkt, während die erste Position – von rechts nach links gelesen – mit einer Null überschrieben wird. Diese Null wird dann im weiteren Fortgang des Verfahrens sukzessive wieder durch alle unsere Zeichen aus der dem ganzen Verfahren vorgegebenen Zeichenmenge in eben der Reihenfolge dieser Zeichen ersetzt, während die 1 auf der zweiten Position unverändert bleibt. Nach einem erneuten vollständigen "Durchlauf" aller dieser Zeichen Ist man mit dieser Zeichenmenge erneut „durch“ fängt man auf dieser ersten Position wieder von vorne, und d.h. der Null als erstem Zeichen unserer Zeichenmenge an, nicht aber ohne zugleich die an zweiter Position unserer Zeichenfolge stehende 1 als zweites Zeichen unserer Zeichenmenge durch die 2 als nächstfolgendes (also drittes) Element dieser Zeichenmenge zu ersetzen. Das Zeichen auf der zweiten Position gibt uns infolgedessen an, wie oft der komplette Satz von b Zeichen aus unserer vorgegebenen Zeichenmenge auf der ersten Position inzwischen vergeben worden ist. Das ganze setzt sich auf den höheren Positionen entsprechend fort, und d.h. es wird uns vom Zeichen auf der n-ten Position gesagt, wie oft inzwischen ein kompletter Satz von  Elementen gesetzt worden ist.