2.2.5 Reihenfolge und ihr Positionensystem

 

 I. - Man kann eine unendliche Reihenfolge sich nur selbst – einem Gesetz der Serie folgend – entwickeln lassen. Zudem ist Reihenfolge auch immer „Reihenfolge von“. Reihenfolge ist ein Ordnungselement, das nur zum Tragen kommen kann, wenn auch etwas ist, das sich – in Reihenfolge – ordnen läßt. Etwas, das bei Reihenfolge immer in Reihenfolge geordnet ist, das ist die Reihenfolge von Positionen, so wie sie von jeder Reihenfolge in gleichbleibender Weise verwirklicht ist. Von den Positionen, die in – einer – Reihenfolge gesetzt sind, kann bei keiner Reihenfolge abstrahiert werden. Durch diese Positionen ist jede Reihenfolge als Reihenfolge auch festgelegt und bestimmt. Diese Positionen werden von jeder Reihenfolge immer in der gleichen Reihenfolge gesetzt, aber auch besetzt.

 Man kann Reihenfolge nicht allein durch Positionen zur Darstellung bringen, nachdem Positionen besetzt sein müssen, sollen Positionen auch Positionen sein können. Position ist etwas Abstraktes. Position kann nicht von sich selbst besetzt gehalten sein. Position ist immer von etwas anderem als von sich selbst besetzt. Reihenfolge ist immer eine Reihenfolge in bzw. von und durch Positionen, nicht aber auch eine Reihenfolge aus Positionen. Es gibt Reihenfolge nicht ohne Positionen, es gibt sie aber auch nicht nur aus Positionen. Positionen ermöglichen Reihenfolge, wie umgekehrt Reihenfolge auch Positionen ermöglicht. Positionen werden durch ihre Reihenfolge erst zu Positionen, wie umgekehrt Reihenfolge auch erst durch die in ihr verwirklichten Positionen zu einer Reihenfolge werden kann. Allerdings müssen diese Positionen dazu auch in geschlossener, und d.h., lückenloser Reihenfolge vorliegen. Das tun sie in jeder Reihenfolge aber auch. Man kann (zu einer) Reihenfolge ansetzen; man kann sie unterbrechen, um sie später wieder fortzuführen; man kann einzelne bereits gesetzte Teile daraus auch wieder herauslösen. Die ursprüngliche Reihenfolge besteht dann so nicht mehr. Man kann deren Restbestände allerdings zu einer neuen Reihenfolge zusammenrücken lassen. Diese Reihenfolge ist wieder eine vollständige Reihenfolge. Man könnte sie als Teilreihenfolge der ursprünglichen Reihenfolge ansehen. Allerdings ist das – in Gegensatz zu Mengen – bei Reihenfolgen keine gebräuchliche Bezeichnungsweise bzw. Sprachregelung. Dem steht einfach das für alle Reihenfolgen gleiche Positionengefüge gegenüber. Eine dezimierte Reihenfolge ordnet sich entweder (zu) neu(er) Reihenfolge, oder es ist keine Reihenfolge mehr.

Einmal mehr zeigt sich so die enge Verflechtung zwischen Reihenfolge und ihren Positionen. Unendliche Reihenfolgen kann man – wie gesagt – einem Gesetz der Serie folgend nur sich selbst entwickeln lassen. Soll das in einer sprachlich kommunikativen Art und Weise geschehen, muß man diese Folgen sich unserem Verfahren folgend entwickeln lassen. Es gibt nur dieses eine Verfahren, das in der Lage ist, solches zu leisten. Deswegen auch kann das, was dieses Verfahren an Zeichenfolgen hervorbringt, auch als Modellreihe für jede Reihenfolge dienen. Insbesondere können die einzelnen Zeichenfolgen dieses Verfahrens zur Identifizierung der einzelnen – in jeder Reihenfolge gleichermaßen wiederkehrenden – Positionen herangezogen werden. Die Einzigartigkeit dieses Verfahrens garantiert dann auch die Einzigartigkeit jeder Position in der ganzen – in diesem Verfahren produzierten – Reihenfolge von Positionen. Nicht zu vergessen ist dabei aber auch, daß damit auch nur eine Bezeichnungsweise für diese Positionen vorliegt. In der von unserem Verfahren produzierten Reihenfolge von Zeichenfolgen nehmen diese einzelnen Zeichenfolgen auch wieder nur eine bestimmte Position ein, die Position nämlich, die sie selbst auch bezeichnen.

 Es ist also nicht so, daß auf diese Weise eine Reihenfolge verwirklicht würde, die nur aus den Positionen und in nichts anderem denn aus den Positionen bestünde, so wie sie von jeder Reihenfolge verwirklicht werden. Es wird dann nur jede einzelne Position auch von der Zeichenfolge eingenommen, mit der diese Position auch in allgemeingültiger, weil einzigartiger Weise bezeichnet wird. Von den Zeichenfolgen unseres Verfahrens wissen wir, daß sie uns genau Auskunft darüber geben, wo wir mit einer Zeichenfolge in der ganzen Serie aller dieser Zeichenfolgen stehen. Das gilt unabhängig davon, mit welchem Material wir in dieses Verfahren hineingehen. Davon hängt zwar ab, wie die Zeichenfolgen aussehen, und es hängt davon insbesondere auch ab, wie schnell oder auch langsam sich diese Folgen in die Länge ziehen; das System Reihenfolge, das dabei verwirklicht wird, bleibt davon allerdings unberührt.

Jeder dieser Zeichenfolgen kommt in diesem System immer eine ganz bestimmte Position zu, und diese Position läßt sich der einzelnen Zeichenfolge insoweit zumindest auch entnehmen, daß gesagt werden kann, welches die dieser Zeichenfolge vorausgehende und welches die ihr folgende Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen ist. Insofern auch ist jede dieser Zeichenfolgen von einer unverwechselbaren Identität. Es gibt jede dieser Folgen in der – unendlichen – Reihenfolge eines ganzen Systems solcher Folgen so jeweils nur einmal. Das teilen die Zeichenfolgen eines solchen Systems mit der in einer jeden Reihenfolge verwirklichten Reihenfolge von Positionen, und deswegen können solche Zeichenfolgen der Bezeichnung dieser Positionen dienen. Allerdings fällt diese Bezeichnung – wie gesagt – je nach dem gewählten System von Polynom-Darstellung, will heißen der gewählten Basis, und d. h. der Anzahl verwendeter Zeichen sowie dem dabei verwendeten (Zeichen-)material verschieden aus, auch wenn diese Positionen etwas einer jeden Reihenfolge fest Anhaftendes und in sich Unveränderliches sind.  Auf die Bezeichnungsweise in ihrer materiellen Ausstattung bzw. Ausgestaltung kommt es dabei nicht an.

 

 II. - Die Reihenfolge von Positionen ist in allen Reihenfolgen dieselbe. Also bietet es sich an, für diese – einheitliche – Reihenfolge von Positionen auch nach einer einheitlichen Bezeichnungsweise zu suchen. Nachdem es sich dabei auch nur um eine unendliche bzw. nicht-endliche Reihenfolge handeln kann – schließlich soll diese Reihenfolge der Bezeichnung der Positionen von Reihenfolgen beliebiger – endlicher – Länge dienen können – folgt diese Reihenfolge aber notwendig einem Gesetz der Serie und bei diesem Gesetz der Serie kann es sich nur um das Gesetz der Serie zur systematischen Produktion der Zeichenfolgen handeln, so wie sie zur Darstellung natürlicher Zahlen Verwendung finden. Dieses System allein eröffnet uns in einer sowohl konstruktiven als auch kommunikativen Weise den Weg ins Unendlich-Endliche. Eine andere Möglichkeit dazu besteht nicht. Nur auf diese Weise erschließt sich uns in den Zeichenfolgen als solchen die Position, die sie in der – unendlichen – Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen einnehmen. Es werden durch diese Elemente Positionen nicht nur besetzt, sondern auch bezeichnet. Die einzelnen Zeichenfolgen, so wie sie unter Vorgabe eines gewissen Zeichenmaterials von unserem Verfahren in Reihenfolge produziert werden, dienen dann zugleich auch der Bezeichnung der allen Reihenfolgen gemeinsamen Reihenfolge von Positionen.

 Es ist dies – wie gesagt – das einzige System, das uns in kommunikativer bzw. intelligibler Weise ins Unendliche trägt. Unendliches gibt es – für uns – nur, weil es auch dieses System und weil es auch dieses Verfahren gibt. Zugang und Zugriff auf Unendliches haben wir nur auf diese Weise. Man kann sich Unendliches nur geben lassen, sich nicht aber auch selbst geben. Nur vermittels der Zeichenfolgen dieses Systems bzw. Verfahrens eröffnet sich uns eine Möglichkeit, die gleichbleibenden Positionen einer jeden Reihenfolge einer Bezeichnung zuzuführen. Man kann diese Positionen nicht anders bezeichnen als durch die Zeichenfolgen dieses Systems von Zeichenfolgen. Gedacht werden könnte alternativ nur an eine modifizierte bzw. reduzierte Ausgabe dieses Systems, und d.h. eines Systems, in dem nur beschränkt von den Möglichkeiten der Zeichenkombination Gebrauch gemacht wird. Will man allerdings alle Möglichkeiten ausschöpfen, die dieses System anzubieten hat, und d. h. will man auf alle Möglichkeiten der Zeichenkombination aus den vorgegebenen Zeichen, die uns durch dieses System eröffnet sind, zurückgreifen, dann ist man auch auf diese – originäre – Ausgabe dieses – einen – Systems verwiesen.  Dadurch, daß diese Zeichenfolgen diesem einen bestimmten System folgen, werden sie in ihrer Position innerhalb der unendlichen Reihenfolge aller solcher Folgen identifizierbar, und dadurch werden umgekehrt auch Positionen identifizierbar, auch wenn die Bezeichnungsweise dafür in ihrer materiellen Ausstattung bzw. Ausführung variiert.

 Je nach Ausgangsmaterial – das wissen wir – fällt diese Bezeichnungsweise ganz verschieden aus. Wie immer diese Bezeichnung aber auch ausfällt, sie ist geeignet, uns darüber aufzuklären, wo wir mit einer Zeichenfolge innerhalb der ganzen Serie in der entsprechenden Ausgabe unseres Systems von Zeichenfolgen stehen. Nur den Zeichenfolgen aus einer unserem Verfahren folgenden Serie läßt sich – mehr oder weniger direkt – entnehmen, welches deren Position innerhalb der ganzen Serie ist. Jede dieser Zeichenfolgen bedient uns  dann zugleich auch mit der Bezeichnung für diese ihre Position. Nur durch ein solches System von Zeichenfolgen kann das allgemeine Positionen­system von Reihenfolgen ihre Bezeichnung finden. Wo die Produktion nur einem bestimmten System folgend möglich ist, folgt die Bezeichnung der einzelnen Glieder der Serie notwendig auch der materiellen Ausführung dieses Systems. Man kann mit anderen Worten nicht nach einem alternativen System von Bezeichnung für die natürlichen Zahlen suchen (wollen). Das machte keinen Sinn, und hat auch noch niemand ernsthaft versucht. Auch die alternativen Modellvorstellungen der natürlichen Zahlen in Mathematik und Philosophie verstehend sich nicht dahingehend.

Die materielle Ausführung der einzelnen Zeichenfolge bezieht sich also sowohl auf die Anzahl als auch auf die Auswahl der verwendeten Zeichen. Für die Identifizierung einer Zeichenfolge mit einer bestimmten natürlichen Zahl ist beides konstitutiv. In welchem System, und d.h. in welcher Ausgabe von Polynom-Darstellung diese Darstellung natürlicher Zahlen erfolgt, ist dabei allein von der Anzahl der in so einem System verwendeten Zeichen bestimmt. In dem allenthalben praktizierten Dezimalsystem beträgt diese Anzahl 10. Für die Produktion der Zeichenfolgen dieses Systems stehen uns 10 verschiedene Zeichen zur Verfügung. Die Anzahl der Zeichen so eines Systems entspricht in jedem Fall einer natürlichen Zahl. Abgesehen von der Eins – und der Null, die aber auch keine natürliche Zahl im engeren und eigentlichen Sinne ist –ist durch jede natürliche Zahl auch eine bestimmte Ausgabe von Polynom-Darstellung dieser Zahlen bestimmt. Es genügen mit anderen Worten mindestens zwei verschiedene Zahlen, um das Verfahren – sich – auch in Gang setzen zu lassen.

 Die Zeichen, mit der eine Darstellung der natürlichen Zahlen aufgenommen sein soll, sind – wie gesagt – dem betreffenden System von Darstellung vorzugeben. Diese Zeichen können uns – anders gesagt – nicht bereits von einem bestimmten System von Darstellung zur Verfügung gestellt werden. Auch die Anzahl dieser Zeichen kann dementsprechend nicht vorab bereits mit einer bestimmten natürlichen Zahl identifiziert werden. Erst ein vollständiges System natürlicher Zahlen kann uns auch mit einem in sich intelligiblen bzw. kommunikativen Anzahlbegriff dienen. Wenn wir also sagen, daß im Dezimalsystem mit 10 verschiedenen Zeichen gearbeitet würde, so ist dies eine Feststellung, die so auch nur aus der Perspektive dieses bereits etablierten Dezimalsystems erfolgen kann. Man kann, das, was mit dieser Feststellung gesagt sein soll, natürlich auch aus der Perspektive jedes anderen solchen Systems sagen. Im dualen System beispielsweise, und d.h. in einem System, das sich nur zweier verschiedener Zeichen – der Zeichen für die 0 und die 1 – bedient, wäre die Anzahl der im Dezimalsystem verwendeten Zeichen nicht durch die Zeichenfolge 10, sondern durch die Zeichenfolge 1010 bestimmt, vorausgesetzt – was nicht notwendig auch so sein muß – die 0 und die 1 werden in beiden Systemen durch dieselben Zeichen bezeichnet.

Das müßte nicht notwendig auch so sein. Man kann in jedes solche System mit einem ganz verschiedenen Zeichenmaterial hineingehen. Dann wäre zumindest sichergestellt, daß die Zeichenfolgen in den verschiedenen Systemen alle auch verschieden ausfallen, und d.h., daß es keine Zeichenfolge gibt, die Bestandteil der verschiedenen Systeme solcher Zeichenfolgen ist. So aber tritt beispielsweise die 10 sowohl im Dual- als auch im Dezimalsystem in Erscheinung. Diese Zeichenfolge bezeichnet in beiden Systemen allerdings eine ganz verschiedene natürliche Zahl. Im Dualsystem ist dies – bezogen auf das Dezimalsystem – die 2, während es im Dezimalsystem – bezogen auf das Dualsystem – die 1010 ist. Um festzustellen, welche Zeichenfolge in einem System welcher Zeichenfolge im anderen System entspricht, kann man – unabhängig von dem in beiden Systemen verwendeten Zeichenmaterial – beide Systeme von Anfang an parallel sich entwickeln lassen.[50] Es gibt keine Formel, die uns die Zeichenfolgen des einen Systems einfach in die Zeichenfolgen des anderen Systems übersetzen ließe. Wir müssen dann einfach umrechnen, und d. h. eine ähnliche Übersetzungsarbeit leisten, wie wir uns ihr auch beim Wechsel von einer – regulären – Sprache in eine andere zu unterziehen haben.

Das haben die von den einzelnen Ausgaben dieses – einen – Systems gesprochenen Sprachen mit natürlichen Sprachen gemeinsam, daß nämlich eine jede solche (Zahlzeichen-)sprache  – so gut wie – vollständig neu erlernt bzw. verinnerlicht werden muß, bevor wir uns darin  ähnlich sicher bewegen (können), wie in einer uns bereits – gut – vertrauten Ausgabe dieses Systems von (Zahlen-)sprache wie beispielsweise und insbesondere dem Dezimalsystem. Wir haben dann einfach eine andere Gewichtung in den einzelnen Positionen einer Zeichenfolge, und daran muß man sich erst gewöhnen. Wir haben dazu einfach umzudenken. Es gibt in diesem Sprach(en-)system nicht die eine Sprache, aus der heraus sich alle anderen Sprachen dieses Systems entwickeln ließen. Jede Sprache dieses Systems ist für sich genommen autonom. Sie steht gleichberechtigt neben allen anderen Sprachen dieses System. Wir haben es hier so gesehen mit einer Sprachfamilie zu tun. Eine gewisse Sonderstellung darunter nimmt nur das Dualsystem ein, weil es dasjenige System ist, das mit den wenigsten Zeichen, nämlich zwei Zeichen auskommt. Dieses System ist vor allem aus informationstechnischen bzw. informationsphilosophischen Gründen interessant.

Es gibt einfach nicht die d i e Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen. Es gibt – innerhalb ein und desselben Systems von Darstellung – unendlich viele solcher Darstellungen. Vollkommen identisch sind die von allen diesen Darstellungen gesprochenen Sprachen in ihrer Syntax. Die Syntax aller dieser Sprachen ist einfach durch das Verfahren gegeben, das die jeweils endlich vielen, in Reihenfolge vorgegebenen bzw. vorzugebenden Zeichen systematisch zu Zeichenfolgen beliebiger Länge und Zusammensetzung kombiniert. Auch in der Semantik sprechen alle diese Sprachen insofern auch die gleiche Sprache, als deren Wortschatz aus eben diesem – einen – Verfahren hervorgeht.

Von der Produktion dieses Wortschatzes sind zugleich auch die Möglichkeiten unseres Umgangs damit, und d.h. sind die Rechengesetze bestimmt. Jedes Wort, und d.h. jede Zeichenfolge einer solchen Sprache läßt sich  mit genau einer Position in der Reihenfolge aller dieser Wörter resp. Zeichenfolgen identifizieren, wobei es die jeweilige Zeichenfolge selbst ist, die diese Identifizierung auch leistet. Nach Umfang bzw. Auswahl der verwendeten Zeichen fällt diese Identifizierung – materiell – in den einzelnen Sprachen – wie gesehen – nur ganz verschieden aus. Es ist deswegen auch nicht möglich, die einzelne Zeichenfolge bzw. das einzelne Wort einer solchen Sprache einfach mit dem gleichzusetzen, was damit bezeichnet sein soll. Die den verschiedenen Darstellungen gemeinsame Bezugsgröße transzendiert alle diese Darstellungen. Man kann die einzelne natürliche Zahl über eine Zeichenfolge so eines Systems nur darstellen, nicht aber auch in ihrer ganzen – immateriellen – Realität einholen. Dadurch, daß es für diese natürlichen Zahlen eine ganze – unendliche – Menge von verschiedenen Darstellungen gibt, wird in der – immateriellen – Realität dieser Zahlen von der konkreten Bezeichnungsweise, die sie in den einzelnen Zeichenfolgen der verschiedenen Systeme finden, notwendig abstrahiert.

 

III. - Zahlen sind etwas genauso Abstraktes wie Positionen. Man kann materielle Darstellungen mit natürlichen Zahlen nicht aber umgekehrt auch natürliche Zahlen mit einer ihrer materiellen Darstellungen identifizieren. In der Wahrnehmung der einzelnen natürlichen Zahl wird von diesem materiellen Element ihrer Darstellung abstrahiert, auch wenn diese materielle Darstellung notwendig ist, um dieser natürlichen Zahl auch gewahr werden zu können. Die Bezeichnungs- und d.h., die Darstellungsweise für die natürlichen Zahlen ist in jedem Fall – genauso auch wie für das Positionensystem jeder Reihenfolge – die den Zeichenfolgen unseres Verfahrens folgende Bezeichnungsweise. Anders lassen sich die natürlichen Zahlen nicht darstellen, und anders läßt sich mit diesen Zahlen auch nicht rechnen, und d.h., Mathematik betreiben.

 Dieses Verfahren ist eine einzige Demonstration und Präsentation von systematisch sich entwickelnder unendlicher Reihenfolge. Die einzige Beziehung, in der die dabei produzierten Zeichenfolgen stehen, ist die eines systematischen, gesetzmäßigen Nacheinanders. Wir bekommen von diesem Verfahren gezeigt, wie sich endlich viele, in Reihenfolge geordnete Zeichen auf jede nur denkbare endliche Weise in Serie zu Zeichenfolgen kombinieren lassen. Eine operative mathematische Qualität hat dieses Verfahren aber nicht. Es geht in diesem Verfahren um die Produktion einer Menge von Zeichenfolgen auf dem Wege systematischer, mechanisierter Zeichenkombination. Es wird uns in diesem Verfahren gesagt, was an einer Zeichenfolge zu ändern ist, damit wir zu der dieser Zeichenfolge im System aller dieser Folgen nächstfolgenden Folge gelangen können. Das ist eine rein mechanische Angelegenheit, die nicht einmal viel mit Kombinatorik zu tun hat. Das ganze Verfahren folgt einfach einem fest vorgegebenen Regelwerk.

 Das ganze Verfahren hat nichts genuin Mathematisches an sich. Deswegen auch findet sich dieses Verfahren in der Mathematik nicht behandelt. Dieses Verfahren ist kein Gegenstand mathematischen Interesses. Das hat primär damit zu tun, daß es bei diesem Verfahren um die Produktion einer Menge geht, und Mathematik – wie jede andere Disziplin im übrigen auch – erst dort einsetzen kann, wo auch ein Stoff vorliegt, mit dem sich beschäftigen läßt. Die Mathematik darf sich glücklich schätzen, daß sie als einzige Disziplin Einblick in das Verfahren hat, das ihr diesen Stoff zur Verfügung stellt. Deswegen auch sollte diesem Verfahren auch jede nur denkbare Aufmerksamkeit gelten. Eine tragfähige Begründung der Mathematik kann jedenfalls nur in der Analyse und durch die Analyse dieses Verfahrens erfolgen. Schließlich verdanken wir diesem Verfahren die natürlichen Zahlen, und diesen natürlichen Zahlen verdankt die Mathematik ihrerseits alles.