1.1.3 Position und Identität

I. - Dem im letzten Abschnitt beschriebenen Verfahren zufolge bezieht Position ihre Identität aus der Anzahl der Verfahrensschritte, die uns in der Identifizierung zweier Elemente aus den beiden Vergleichsreihen diese beiden Elemente als die gleiche Position besetzt haltend charakterisieren lassen. Allerdings läßt sich diese Anzahl in den Möglichkeiten dieses Systems bzw. dieser Methode von Vergleich nicht beziffern. Wir können in den Möglichkeiten dieses Systems bzw. dieser Methode Anzahl nur dadurch zum Ausdruck bringen, daß wir die entsprechende Anzahl von Verfahrensschritten effektiv auch ausführen bzw. vorführen. Jemand, der wissen will, welches die Position eines Elementes ist, könnte dies nur feststellen, indem er alle Elemente, die vor dem fraglichen Element liegen, nochmals – wenn vielleicht auch nur gedanklich – setzt. Die Frage ist nur: Weiß er dann auch, wie viele Elemente er gesetzt hat? Das könnte er nur – zumal bei einer größeren Anzahl gesetzter Elemente – wenn er mitgezählt hat. Für dieses Mitzählen hält dieses Verfahren, wie gesagt, nur keine Möglichkeiten bereit.

Wir versuchen uns im Augenblick in eine Lage versetzt zu denken, in der wir nichts von den natürlichen Zahlen wissen, um um so besser vielleicht verstehen zu lernen, was diese Zahlen sind. Das ganze Projekt Modellreihe zur Feststellung der Position einzelner Elemente in beliebigen Reihenfolgen bzw. der Anzahl der Elemente, die einem jedem Element in einer Reihenfolge von Elementen vorausliegen, war dazu gedacht, uns auf Umwegen an die Realität „natürliche Zahlen“ heranzutasten. Ein erster Schritt in dieser Richtung ist mit so einer Modellreihe sicherlich dadurch vollzogen, als die Aufgabenstellung darin auf eine erste Abstraktionsstufe gehoben ist. Eine solche Modellreihe dient schließlich dazu, für Positions- bzw. Anzahlbestimmung eine einheitliche Bezeichnungsweise bzw. auch eine erstmalige Bezeichnungsweise einzuführen. Mit dem reproduktiven Setzen der Elemente einer Menge bzw. Reihenfolge zur demonstrativen Bezeichnung der Anzahl der Elemente einer Menge bzw. der Anzahl der Elemente, die in einer Reihenfolge von Elementen vor einem bestimmten Element zu liegen kommen, ist schließlich nichts bezeichnet. Es ist damit Anzahl einfach nur reproduziert und demonstriert. Dazu braucht man die einzelnen Elemente im übrigen nicht explizit-materiell zu reproduzieren; es genügt, wenn wir sie uns implizit-ideell nur gesetzt denken.

Es muß dabei einfach das stattfinden, was stattfindet, wenn Elemente einer Menge abgezählt werden, daß alle diese Elemente nämlich als Elemente dieser Menge realisiert und registriert werden, bevor sie in fortlaufender Reihenfolge numeriert werden. Eine Menge abzählen heißt somit in gewisser Weise auch, diese Menge neu zu setzen; es heißt dies mehr noch, diese Menge in eine Reihenfolge zu bringen, und es heißt dies schließlich auch, diesen Prozeß der – imaginären – Rekonstruktion einer Menge in einer Weise zu begleiten, daß uns am Ende des Verfahrens mit einer Zahl gedient sein kann, die die Anzahl der Elemente der rekonstruierten Menge beschreibt. Das ganze Verfahren läuft so ab, daß den einzelnen Elementen in einer Reihenfolge, die wir uns im allgemeinen auch nach Belieben zurechtlegen können, sofern die Menge selbst schon nicht in Reihenfolge geordnet ist, Zahlzeichen bzw. daraus – einem festen System bzw. Mechanismus folgend – sich zusammensetzende Zahlzeichenfolgen zugeordnet werden. Gegenüber einem bloßen Vergleich mit einer willkürlich zusammengestellten Modellreihe hat dieses Verfahren wie gesagt, den Vorzug ihrer Unendlichkeit und den Vorzug ihres gesetzmäßigen Zusammenhangs in den verwendeten Zeichenfolgen.

Unsere Frage – um das zu wiederholen – war die, was sich daraus an Vorzug für die Identifizierung der Positionen verschiedenster Elemente in verschiedensten Reihenfolgen gegenüber einer Bezeichnung per Vergleich mit einer willkürlich angesetzten Modellreihe ergibt. Eine Modellreihe ist schließlich auch unser System von Zeichenfolgen, nur daß dieses aufgrund ihres gesetzmäßigen Charakters ein sich selbst entwickelndes bzw. sich auch selbst bestimmendes System ist. Wir brauchen, um auf diese Modellreihe zurückgreifen zu können, uns diese nicht in der genauen Abfolge ihrer Elemente zu verinnerlichen. Es genügt, wenn wir um die Reihenfolge der endlich vielen einfachen Zeichen, aus denen sich dann auch alle weiteren endlichen Zeichenfolgen zusammensetzen, sowie auch um den Mechanismus, der uns alle diese endlichen Zeichenfolgen in geordneter Reihenfolge bilden läßt, wissen, damit wir über die Position einer jeden diesen Zeichenfolge in der ganzen unendlichen Reihenfolge solcher Zeichenfolgen informiert sind.

Die Frage ist: Sind wir damit aber auch über die Position einer jeden Zeichenfolge in der ganzen Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen informiert? Weiß man allein deswegen schon, weil man weiß, wie die Reihenfolge aller dieser Zeichenfolgen ist, auch schon, welches die jeder dieser Zeichenfolge eigene Identität ist? Man muß in diesen Dingen doch auch sehr deutlich differenzieren. Reihenfolge läßt sich auch verwirklichen bzw. verwirklicht denken, ohne deswegen jedes einzelne Element der Reihenfolge über die Position, die es in dieser Reihenfolge besetzt hält, identifizieren zu können. Die räumliche Anordnung entlang einer Linie beispielsweise begründet Reihenfolge, ohne daß uns irgendein x-beliebig herausgegriffenes Element dieser Reihenfolge über dessen Position in dieser Reihenfolge aufzuklären vermöchte. Was im besonderen endliche Zeichenfolgen betrifft, so wäre ein – mögliches – Element der  (raumunabhängigen) Anordnung aller dieser Folgen in Reihenfolge in der Anzahl der Zeichen, über die eine jede solche Folge verfügt, gegeben, vorausgesetzt, alle diese Folgen unterscheiden sich in der Anzahl der darin enthaltenen Zeichen. In diesem Fall könnten alle diese Zeichen- folgen der anwachsenden Anzahl ihrer Zeichen folgend in Reihenfolge geordnet werden bzw. man könnte sich diese Zeichenfolgen schon immer in dieser Reihenfolge geordnet denken.

Allerdings müßte dazu die Anzahl der Zeichen einer jeden Zahlzeichenfolge auch festgestellt werden können. Kann dazu nicht einfach abgezählt werden, weil uns dafür die natürlichen Zahlen nicht zur Verfügung stehen, so könnte eine Anzahlbestimmung allenfalls in der Form eines Vergleiches wie vorhin beschrieben, stattfinden, bei der bekanntlich die Elemente zweier Reihenfolgen, so wie sie von Beginn einer jeden Reihenfolge an einander nachfolgen, in eben dieser in beiden Folgen gleichen Reihenfolge einander zugeordnet werden. Auf diese Weise lassen sich nicht nur Elemente an gleichen Positionen in verschiedenen Reihenfolgen identifizieren; es lassen sich auf diese Weise endliche Mengen auch bezüglich der Anzahl ihrer Elemente miteinander vergleichen. Eine endliche Menge verfügt dann über eine größere Anzahl von Elementen als eine andere endliche Menge, wenn nach einer bestimmten Anzahl von Verfahrensschritten uns die andere Menge mit keinen Vergleichselementen mehr dienen kann, weil bereits alle Elemente der Menge von dem laufenden Vergleichsverfahren erfaßt worden sind. Dieses Verfahren kann uns also damit dienen, zwei Elemente aus verschiedenen Reihenfolgen daraufhin zu überprüfen, ob sie möglicherweise dieselbe Position in diesen Reihen besetzt halten bzw. – wenn sie das nicht tun – ob das Element der einen Reihenfolge in dieser Reihenfolge eine höhere oder auch kleinere Position einnimmt als das Element der anderen Reihenfolge in eben dieser anderen Reihenfolge.

Das läßt sich mithilfe dieses Verfahrens schon auch feststellen. Was damit nicht festgestellt ist, das ist die genaue Feststellung der Anzahl der Elemente einer Menge bzw. das ist die präzise Bestimmung der Position des einzelnen Elementes innerhalb einer ganzen Reihenfolge von Elementen. Das kann dieses Verfahren nicht auch leisten. Dazu müßte im übrigen zuvor auch geklärt werden, was Anzahl bedeutet und was insbesondere konkrete Zahl bedeutet. Desgleichen auch müßte geklärt werden, worin Position besteht bzw. worin sich konkrete Position ausdrückt. Inwieweit kann man sich – und das ist mit einer Feststellung wie der soeben getroffenen offenbar gemeint – in der Feststellung der konkreten Position eines Elementes von der Reihenfolge lösen, in der dieses Element mit anderen Elementen steht? Es soll schließlich möglich sein, die Position eines Elementes anzugeben, ohne deswegen die ganze Reihenfolge von Elementen explizit vorführen zu müssen. Man soll einfach sagen können, dieses oder jenes Element stünde innerhalb der ganzen Reihenfolge von Elementen an dieser oder jener Position.

So etwas sollte einfach unter kommunikativen Aspekten möglich sein. Man sollte sich über die Positionen der einzelnen Elemente innerhalb einer Reihenfolge auch auf einer rein sprachlichen Ebene austauschen können. Man sollte sich in dem, was man an Position eines Elementes festgestellt hat, anderen mitteilen können, ohne daß diesen die ganze Folge – auf welche Art und Weise auch immer – zur Kenntnis gebracht werden müßte. Natürlich kann derjenige, der die Position eines Elementes feststellen will, dies nur in der Rekonstruktion dieser Folge bis einschließlich zumindest dieses einen in seiner Position zu bestimmenden Elementes tun. Es sollte dies dann allerdings in einer Form geschehen können, die - wie gesagt - kommunikativ verwertbar ist, und d.h., die es uns gestattet, jemandem, der von der ganzen Reihenfolge nichts weiß, mit der gezielten Information dienen zu können, an dieser oder jener Position der Reihe stünde dieses oder jenes Element.

Die Möglichkeit einer solchen Identifizierung einzelner Positionen ist natürlich auch im ganz persönlichen Umgang mit Reihenfolgen von Nutzen. Wenn erst einmal eine Position identifiziert ist, möchte man natürlich haben, daß uns eine Bezeichnungsweise zur Verfügung steht, die uns auf das betreffende Element weiterhin einfach nur als Element an der soundsovielten Position innerhalb der Reihenfolge verweisen läßt.  Natürlich möchte man diese Position nicht selbst auch immer wieder aufs neue ermitteln müssen, wenn wir uns dafür gerade wieder einmal interessieren. Wie läßt sich also Anzahl, und wie läßt sich Position in einer Art und Weise feststellen, die uns nach erfolgter Feststellung mit diesen Positionen rein kommunikativ umgehen läßt? Es kommt dabei sicherlich nicht auf die Bezeichnungsweise an. Wie die einzelne Position bezeichnet wird, ist natürlich unwichtig, sofern nur Zeichen bzw. Zeichenfolge und dadurch bezeichnete Position immer auch eindeutig einander zugeordnet werden können. Wie diese – anfängliche – Zuordnung in den beliebig sich vorzugebenden Zeichen ist, das ist per Konvention festzulegen, nachdem Positionen genausowenig wie Zahlen über eine natürliche Bezeichnungsweise verfügen, was das dabei Verwendung findende (Zeichen-)material betrifft.

Das wäre natürlich die bequemste Lösung, daß man in der Bezeichnung einzelner Positionen einfach auf ein natürlicherweise vorgegebenes Zeichensystem zurückgreifen könnte. Das können wir bei Positionen aber genausowenig wie bei Zahlen, und wir können es bei Positionen nicht, weil wir es bei Zahlen nicht können. Die Bezeichnungsweise ist in beiden Fällen auch dieselbe. Die Positionen einer Reihenfolge werden in fortlaufender Reihenfolge entsprechend der Reihenfolge der natürlichen Zahlen abgezählt bzw. identifiziert. Die Bezeichnungsweise, die die natürlichen Zahlen dabei erfahren, ist in den verwendeten Zahlzeichen jedenfalls Konvention. Keine Konvention ist dagegen der Mechanismus, der uns die ganze unendliche Menge natürlicher Zahlen per Kombination von Zeichenfolgen  jeder nur erdenklichen – endlichen – Länge bzw. Vielfalt aus diesen endlich vielen, beliebig vorzugebenden Zeichen produzieren läßt bzw. der diese Zeichenfolgen schon immer produziert hat. Dieser Mechanismus zur Darstellung natürlicher Zahlen braucht nicht erst erfunden zu werden; es darf darauf einfach nur zurückgegriffen werden. Er könnte auch nicht erfunden werden, wenn es ihn nicht schon immer gäbe, und dann kann so ein Mechanismus nicht mehr erfunden, sondern allenfalls nur noch entdeckt werden.

II. - Das ist in mathematischen Dingen – und dazu zählt zweifelsohne dieser Mechanismus zur Darstellung natürlicher Zahlen auch – allgemein so. Es gibt in diesen Dingen nichts zu erfinden, sondern nur zu entdecken, was immer schon ist. Was die wesenhafte Verfassung der – materiellen – Natur betrifft, so trifft das in gleicher Weise auch auf die experimentellen Wissenschaften zu. Auch in diesen wird, was die solcherart verstandene Natur betrifft, nur entdeckt, was immer schon ist und im übrigen auch nie anders sein wird, unabhängig davon, wie die Entwicklung in dieser Natur, durch diese Natur und mit dieser Natur sein wird. Es ist dies allerdings auch eine Natur, die sich in dieser ihrer wesenhaften und unveränderlichen Natur nur in der materiell besetzten Raum-Zeit-Ordnung kundtun kann. Der Gesetzescharakter von Natur mag zeitlos sein in dem Sinne, daß die Gültigkeit dieser gesetzmäßigen Verfassung von Natur auf keine bestimmte Zeit beschränkt bliebe bzw. sich in der Zeit nicht auch ändern könnte; er ist zeitabhängig in jedem Fall in dem Sinne, daß dieser Gesetzescharakter nur von einer materiellen Natur, und d.h. einer Natur, die dem Ablauf der Zeit unterliegt, verwirklicht sein kann.

In mathematischen Dingen haben wir dieses materielle Element in dieser Form nicht. Folglich fehlt es dort auch an dem konkreten Zeitbezug, so wie wir ihn in allen materiellen Dingen haben. Die Gesetze in den experimentellen Wissenschaften sind alles Zeitgesetze. Die Prozesse, die darin beschrieben sind, sind materielle Prozesse, und d.h. es sind dies Prozesse in Raum und Zeit. Es geschieht effektiv etwas in solchen Prozessen. Die Dinge verändern dabei ihr Aussehen. Das haben wir so in mathematischen Dingen nicht. Der Umgang mit natürlichen Zahlen beispielsweise und insbesondere ist ohne jeden Einfluß auf diese Zahlen. Richtig ist, daß es natürliche Zahlen nur gibt, weil es auch dieses Verfahren gibt, das alle diese Zahlen hervorbringt.

Es gibt unendliche Mengen, so wie die Menge der natürlichen Zahlen eine ist, nur gegen ein Gesetz der Serie, und dieses Gesetz der Serie besteht im Fall der natürlichen Zahlen aus eben diesem Verfahren, des uns sagt, wie Zeichenfolgen aus endlich vielen vorgegebenen und in Reihenfolge gesetzten Zeichen aufzubauen, fortzuschreiben und ebenfalls in eine Reihenfolge zu bringen sind. Um diesen Mechanismus in Gang setzen zu können, benötigt man, wie gesagt, zumindest zwei in Reihenfolge gesetzte Zeichen. Diese Zeichen  mögen sein, welche sie wollen, sofern sie in Reihenfolge geordnet sind, ermöglichen sie uns die Anwendung dieses Mechanismus auf diese Reihenfolge von Zeichen, und d.h. sie ermöglichen uns die Darstellung der Reihenfolge der natürlichen Zahlen. Die Zahldarstellung fällt je nach zugrundeliegender bzw. zugrundegelegter endlicher Menge von Zahlzeichen – optisch-graphisch betrachtet – ganz verschieden aus. Abhängig ist die Darstellung der einzelnen natürlichen Zahl aber auch von der Anzahl der Zahlzeichen, mit der wir in das betreffende Verfahren hineingehen. Was bleibt ist die Reihenfolge in den Zeichenfolgen, die durch dieses Verfahren – völlig unabhängig davon, mit welchem Material wir dieses Verfahren aufnehmen – hervorgebracht wird. Dieses Verfahren produziert selbsttätig aus dem vorgegebenen Material von in Reihenfolge geordneten Zeichen endliche Zeichenfolgen in fortlaufender Reihenfolge.

Das geschieht, wie gesagt, völlig unabhängig von Art und Umfang des Materials, das wir diesem Verfahren zugrunde legen. Dabei kann es sich um alles mögliche an Zeichen handeln, und mangels natürlicher Beziehungen zwischen Zahlzeichen und dadurch dargestellter Zahl handelt es sich dabei in jedem Fall auch um alles mögliche an Zeichen. Auch die uns im Dezimalsystem so geläufigen Zeichen für die Zahlen von 0 bis 9 stellen der fehlenden natürlichen Beziehung dieser Zeichen zu den damit in Verbindung gebrachten natürlichen Zahlen auch nur „alles mögliche an Zeichen“ dar. Das mit diesen  Zeichen in ihrer Beziehung zu bestimmten natürlichen Zahlen ist alles einfach nur Konvention.

III. Offensichtlich kommt es in der Darstellung natürlicher Zahlen nicht auf das Zeichenmaterial an. Entscheidend allein ist dabei offenbar, daß mit diesem Material in einer Weise kombiniert werden kann, die uns in geordneter Reihenfolge mit immer neuen endlichen Zeichenfolgen versorgt. Es kommt dabei entscheidend nur auf das Verfahren an, das uns sagt, wie dieses Zeichenmaterial zu einer unendlichen Folge endlicher Zeichenfolgen aus den einzelnen Elementen dieses Materials zu verarbeiten ist. Ist dieses sichergestellt, ist das ganze Verfahren ein Verfahren zur Darstellung der Menge der natürlichen Zahlen. Nachdem es in dieser Darstellung nicht auf die einzelnen Zeichen in ihrer optisch-graphischen Gestalt und auch nicht auf die einzelne Zeichenfolge als bloßer Zeichenfolge ankommt, liegt die Begründung der natürlichen Zahlen, soweit jede Darstellung dieser Zahlen einer solchen Begründung bedarf, im Vollzug dieses Verfahrens ganz auf Seiten dieses Verfahrens selbst. Weder die einzelnen Zeichen noch die verschiedenen daraus zusammengesetzten Zeichenfolgen wären ohne dieses Verfahren aussagefähig und aussagekräftig.

Man kann sich endlich viele Zeichen beliebig vorgeben und damit auch nach Belieben kombinieren. Eine Bedeutung, die über das hinausgeht, was man in jeder Kombination an aneinandergereihten Zeichen sieht, wird sich daraus aber nicht ableiten lassen. Zusätzlich über das hinaus, was wir optisch-graphisch zu sehen bekommen, werden uns solche Zeichenfolgen nur dann etwas sagen können, wenn ein Verfahren angegeben werden kann, dem zu entnehmen ist, wie alle diese Zeichenfolgen systematisch entwickelt werden können. Zusätzlich – und das ist auch entscheidend – muß jeder Folge entnommen werden können, welches ihre Position innerhalb aller dieser Zeichenfolgen ist. Man möchte einfach jede Zeichenfolge ihrer Position nach, die sie im ganzen System solcher Zeichenfolgen einnimmt, identifizieren können.

Die Frage ist: Reicht dazu in jedem Fall auch ein Verfahren aus, das uns in systematischer Weise alle diese Zeichenfolgen produzieren hilft? Reicht es hin, um die Position einer solchen Folge im ganzen System aller dieser Folgen identifizieren zu können, eine Zeichenfolge in der Reihenfolge aller dieser Folgen bis an den Anfang dieser Reihenfolge zurückverfolgen zu können bzw. – umgekehrt gefragt – muß man eine solche Folge, um sie in ihrer Position im ganzen System solcher Folgen identifizieren zu können, notwendig in diesem System bis an dessen Anfang auch zurückverfolgen? Das nämlich möchte man gerade nicht haben, daß man Reihenfolge nämlich explizit von ihrem Beginn an bis zu einem bestimmten Element immer wieder aufzunehmen hat, bloß weil man die Position dieses Elementes in der ganzen Reihenfolge dieser Elemente bestimmt haben möchte. Man möchte das dem Element schon direkt entnehmen können. Wie soll so etwas aber möglich sein, ist doch die Position eines Elementes in einer ganzen Reihenfolge von Elementen von den Positionen aller anderen Elemente in dieser Reihenfolge und d.h. von der Reihenfolge als Ganzes bestimmt?

Ein Element in einer Reihenfolge von Elementen nimmt darin eine bestimmte Position deswegen ein, weil andere Elemente sind, die andere Positionen abdecken, und zwar vollständig abdecken. Es kann in einer Menge von Elementen, die in Reihenfolge geordnet ist, keine nicht besetzten Positionen geben. Reihenfolge kann es in diesem Sinne nur als vollständige Reihenfolge geben. Es kann keine Unterbrechungen von Reihenfolge in der Form geben, das einzelne Positionen, wie sie Bestandteil einer jeden Reihenfolge sind, nicht besetzt, und d.h. ausgelassen würden.

Das System von Reihenfolge, und d.h. das System, das von jeder Reihenfolge, unabhängig davon, welches die Elemente sind, aus denen sich eine Reihenfolge explizit aufbaut, verwirklicht ist, ist ein vollständiges System in dem Sinne, das Reihenfolge dadurch entweder ganz verwirklicht ist oder daß sie nicht verwirklicht ist. Das, was allen Reihenfolgen gemeinsam ist, das ist das System von Positionen, das von den Elementen aller in Reihenfolge geordneten Mengen in gleicher Weise besetzt ist. Worin aber besteht dieses System von Positionen? Wenn man wissen will wie dieses System von Positionen Reihenfolge begründet, dann muß man wissen, wie die Reihenfolge der Positionen dieses Systems ist.

Reihenfolge liegt vor, wenn alle Positionen, die Reihenfolge zu einer Reihenfolge machen, auch – soweit Reihenfolge reicht – besetzt sind. Die Reihenfolge von Positionen ist ihrerseits bereits eine erste Ausführung von Reihenfolge. Reihenfolge ist generell Reihenfolge in Positionen bzw. von Positionen, und damit ist diese Reihenfolge von Positionen, so wie wir sie in jeder Reihenfolge verwirklicht finden, ihrerseits eine erste und ursprüngliche Form von Reihenfolge. Es ist dies eine Reihenfolge, die jeder anderen Reihenfolge zugrunde liegt und von jeder anderen Reihenfolge auch verwirklicht wird, soll eine Reihenfolge auch eine Reihenfolge sein können. Wir haben insofern bei jeder Reihenfolge bzw. in jeder Reihenfolge zwei Reihenfolgen, die Reihenfolge von Positionen und die Reihenfolge dessen, womit alle diese Positionen besetzt sind.

Nun könnte man sich fragen, inwieweit eine Reihenfolge verwirklicht werden kann, die einfach nur Reihenfolge ist deswegen, weil sie in ihren Positionen nur von diesen Positionen besetzt ist. Gibt es Reihenfolge, die in ihren Positionen nur von diesen Positionen besetzt ist? Positionen können mit allem Möglichen besetzt sein. Können Positionen aber auch von diesen Positionen selbst besetzt sein? Kann Reihenfolge realisiert sein, ohne daß dabei an anderes gedacht würde als an die Positionen, die Reihenfolge immer auch ausmachen? An was könnte dabei aber gedacht werden, wenn nur an Position gedacht würde? Ist eine Reihenfolge, die nur aus ihren Positionen bestehend gedacht wird, in eben diesen Positionen unbesetzt? Genügt Position sich selbst, um als Position auch realisiert und identifiziert werden zu können? Worin besteht die Position einer Position?